Matematyka.pl

Kod: Zaznacz cały

documentclass{amsbook}

usepackage{indentfirst}
usepackage{geometry}

usepackage{amssymb} % To pakiet z dodatkowymi symbolami matematycznymi
usepackage{polski} 
usepackage[utf8]{inputenc} % Te pakiety umo�liwiaj� sk�adanie pracy w j�zyku polskim
usepackage{graphicx} 
usepackage{url}

Kod: Zaznacz cały

letcleardoublepageclearpage 
pagestyle{myheadings} markboth{}{}

Kod: Zaznacz cały

ewgeometry{tmargin=3cm, bmargin=3cm, lmargin=2.5cm, rmargin=2.5cm}

Kod: Zaznacz cały

Równoważnie, $C = {x in A  |  xi(x) wedge e_{n+1} wedge ... wedge e_m = 0 }$. 

Przedstawienie to dostajemy z następującej 
 własności pola orientującego na $mathcal{N}$: 
 
 indent $forall x in mathcal{N}:  Tx mathcal{N} = { v in mathbb{R}^m  |  v wedge xi (x) = 0 }$.

Z ciągłości pola $xi$ zbiór C jest domknięty w A. Określmy $B:=A setminus C$. Zauważmy, że $mathcal{H}^n(B) = 0$.

Jest tak dlatego, że dla ustalonego $x in B$ istnieje $V_x$ - otoczenie x w N t. że $V_x cap C = emptyset$ oraz $V_x$ jest 

indent wykresem pewnej $f: U_x 	o mathbb{R}^{m-n}$ kl. $C^1$, gdzie  $U_x subset mathbb{R}^{n}$ - otwarty. 

Wówczas mamy: $mathcal{H}^n(B cap V) = int_{Z cap U} I_nf mathrm{d} mathcal{L}^n = 0 $.

Ponieważ z każdego pokrycia $B = igcup_{x in B} V_x$ możemy z II aksjomatu przeliczalności wybrać podpokrycie 

indent przeliczalne $B = igcup_{i in mathbb{N}}V_i$, więc $mathcal{H}^n(B) = mathcal{H}^n(igcup_{i in mathbb{N}}(B cap V_i))  = 0 $.

Ponadto, dla $x in C$, $  omega(x; xi (x)) = 0$.