Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta, to \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + cb + ca)}\)

Temat poprawiłam. Zapoznaj się z Regulaminem. Kasia

Niech x,y,z będą liczbami dodatnimi takimi,że:a=x+y,b=y+z,c=z+x
Wtedy:\(\displaystyle{ 2(ab+bc+ca)-({a}^2+{b}^2+{c}^2)=2((x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y))-({(x+y)}^2+{(y+z)}^2+{(z+x)}^2)=4(xy+yz+zx)>0}\)
c.n.d.

nie da sie tego inaczej?

Da sie, całośc sprowadza sie do postaci \(\displaystyle{ a(b+c-a) + b(a+c-b) + c(a+b-c) >0}\) A to co jest w nawiasach to jest zasze >0 z nier. trójkata

Nie wiem jak zrealizować pomysł palaziego, ale chyba mam coś prostszego (rym )

Przekształcając zadaną nierówność otrzymujemy kolejno:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)