Matematyka.pl

Mam oto takie równania różniczkowe:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\tg \frac{x}{2}+ \frac{y}{\sin x}}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{y}-2y \right) \frac{dy}{dx}=2x-\ln y}\)

1 rozwiązuje w sposób liniowy:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\tg \frac{x}{2}+ \frac{y}{\sin x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}-y \frac{1}{\sin x}=\tg \frac{x}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}-y \frac{1}{\sin x}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=y \frac{1}{\sin x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}= \frac{dx}{\sin x}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{\sin x}}\)

i tu zaczyna się mój problem, ponieważ nie wiem jak rozwiązać całkę z prawej strony Mógłby ktoś krok po kroku wyjaśnić mi jak rozwiązać tego typu całkę?

A co do drugiego równania to kompletnie nie mam konceptu jak się do tego zabrać.

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin x}=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\frac{1}{2\tan \frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}}}\)

Widać teraz podstawienie do zastosowania.

Drugie równanie jest równaniem zupełnym.

A jak doszło do przekształcenia po 2 znaku równości?

Aha, no tak Myślę, że już z tym 1 jakoś sobie poradzę. Teraz drugie:

\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{y}-2y \right) \frac{dy}{dx}=2x-\ln y}\)

\(\displaystyle{ (2x-\ln y)+\left(- \frac{x}{y}+2y \right) \frac{dy}{dx}=0}\)

\(\displaystyle{ P(x,y)=(2x-\ln y)\ \ \ \ \ \ \ Q(x,y)=\left(- \frac{x}{y}+2y \right)}\)

Sprawdzam zupełność:

\(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(2x-\ln y)=- \frac{1}{y}\ \ \ \ \ \ \frac{\partial Q}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\left(- \frac{x}{y}+2y\right)=- \frac{1}{y}}\)



\(\displaystyle{ \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=2x-\ln y}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=\left(- \frac{x}{y}+2y \right)}\)

Wyznaczam z pierwszego równania \(\displaystyle{ F(x,y)}\):

\(\displaystyle{ F(x,y)= \int (2x-\ln y)dx=x^2-x\ln y+C(y)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^2-x\ln y+C(y)=0-x \frac{1}{y}+C'(y)}\)


Podstawiam do równania:

\(\displaystyle{ -\frac{x}{y}+C'(y)=- \frac{x}{y}+2y}\)

\(\displaystyle{ \frac{dC }{dy}=2y}\)

\(\displaystyle{ dC(y)=2ydy}\)

\(\displaystyle{ \int dC=\int 2ydy}\)

\(\displaystyle{ C(y)=y^2+D}\)

\(\displaystyle{ F(x,y)=x^2-x\ln y+y^2+D}\)

\(\displaystyle{ x^2-x\ln y+y^2+D=0}\)


Wydaje mi się, że dobrze to rozwiązałem, ale możecie spojrzeć

Nie widzę żadnego błędu.

Również nie widzę, co więcej, rozwiązanie jest przedstawione znacznie lepiej, niż większość studentów robi to na tablicy/sprawdzianie. Brawo za cierpliwość i dokładność