Znajdź równania stycznych
-
fliper
Znajdź równania stycznych
Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{2x^2-1}{x}}\), z których każda razem z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu \(\displaystyle{ 1}\).
-
bisz
- Użytkownik
- Posty: 572
- Rejestracja: 13 paź 2004, o 18:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 27 razy
Znajdź równania stycznych
mam nadzieje ze to zadanie było z conajmniej jedną gwiazdką;-)
zatem do roboty
zacznijmy od takiej funkcji na pole
\(\displaystyle{ yx\frac{1}{2} = 1}\)
z tego mamy
\(\displaystyle{ y=\frac{2}{x}}\)
patrząc na wykres funkcji którą podałeś w zadaniu wychodzi ze te trójąty mogą być jedynie w 2 i 4 ćwiartce więc zmieniamy znak naszej funkcji na
\(\displaystyle{ y= \frac{-2}{x}}\)
teraz bierzemy te nieszczęsną funkcję z treści zadania
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\frac{2x^{2}-1}{x}}\)
traktujemy to pochodną i otrzymujemy
\(\displaystyle{ f' \left( x \right) =4-\frac{2 \cdot x^2-1}{x^{2}}}\)
teraz aby zaszła styczność prostej i twojej funkcji współczynniki kierunkowe muszą być sobie równe zatem przyrównujemy do siebie obie pochodne
\(\displaystyle{ 4-\frac{2 \cdot x^2-1}{x^{2}}=\frac{2}{x^{2}}}\)
i mamy
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
x=-\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
podstawiamy to do prostrzej postaci funkcji
\(\displaystyle{ f' \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) =\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}^{2}}=4}\)
wiemy już ze nasza prosta przyjmie postać
\(\displaystyle{ y=4x+b}\)
zajmijmy się teraz b
przyrównajmy prostą z parametrem b do \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\frac{2x^{2}-1}{x}}\)
i mamy
\(\displaystyle{ 2x^{2}+bx+1=0 ,}\)
zeby było jedno rozwiązanie przyjmujemy
\(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
i mamy:
\(\displaystyle{ b=\sqrt{8} \\
b=-\sqrt{8} \\}\)
czyli nasze 2 proste mają postać kolejno:
\(\displaystyle{ y=4x+\sqrt{8} \\
y=4x-\sqrt{8}}\)
teraz mozemy sobie narysować przykładowy trójącik o kącie prostym w punkcie 0,0
oraz bokach równych:
\(\displaystyle{ \sqrt{8}, \frac{1}{4}\sqrt{8}}\)
i licząc pole wychodzi 1
mam nadzieje ze wszystko jest dobrze ;>
metoda pana zygmunta:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\frac{2x^{2}-1}{x}}\)
liczymy pochodną
\(\displaystyle{ f' \left( x \right) =\frac{2x^{2}+1}{x^{2}} \\
f' \left( x_{0} \right) =\frac{2x_{0}^{2}+1}{x_{0}^{2}}}\)
rownanie stycznej:
\(\displaystyle{ y=a \left( x-x_{0} \right) +y_{0}}\)
współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a=y' \left( x_{0} \right)}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{2x_{0}^{2}+1}{x_{0}^{2}}}\)
rzędna punktu styczności
\(\displaystyle{ y_{0}=\frac{2x_{0}^{2}-1}{x_{0}}}\)
stąd
\(\displaystyle{ y=\frac{2x_{0}^{2}+1}{x_{0}^{2}}{ \left( x-x_{0} \right) }+\frac{2x_{0}^{2}-1}{x_{0}} \\
y=\frac{x \left( 2x_{0}^{2}+1 \right) -2x_{0}}{x_{0}^{2}}}\)
to jest rownanie stycznej
\(\displaystyle{ y=\frac{x \left( 2x_{0}^{2}+1 \right) }{x_{0}{2}}-\frac{2}{x_{0}}}\)
szukam przecięcia z osiami
z osią OY
\(\displaystyle{ x=0 \\
y=\frac{-2}{x_{0}}}\)
z osią OX
\(\displaystyle{ y=0\\
\frac{x \left( 2x_{0}^{2}+1 \right) }{x_{0}^{2}}-\frac{2}{x_{0}}=0 \\
x=\frac{2x_{0}}{x_{0}^{2}+1}}\)
Pole trójkąta=
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left|\frac{-2}{x_{0}}\right| \cdot \left|\frac{2x_{0}}{2x_{0}^{2}+1}\right|=1 \\
\frac{2}{2x_{0}^{2}+1}=1 \\
x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ x_{0}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
y_{0}=\frac{2x_{0}^{2}+1}{x_{0}} \\
x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\
y_{0}=4 \\
y=\sqrt{2}x \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
y=4x-2\sqrt{2} \\
x_{0}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
y=4x+2\sqrt{2}}\)
zatem do roboty
zacznijmy od takiej funkcji na pole
\(\displaystyle{ yx\frac{1}{2} = 1}\)
z tego mamy
\(\displaystyle{ y=\frac{2}{x}}\)
patrząc na wykres funkcji którą podałeś w zadaniu wychodzi ze te trójąty mogą być jedynie w 2 i 4 ćwiartce więc zmieniamy znak naszej funkcji na
\(\displaystyle{ y= \frac{-2}{x}}\)
teraz bierzemy te nieszczęsną funkcję z treści zadania
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\frac{2x^{2}-1}{x}}\)
traktujemy to pochodną i otrzymujemy
\(\displaystyle{ f' \left( x \right) =4-\frac{2 \cdot x^2-1}{x^{2}}}\)
teraz aby zaszła styczność prostej i twojej funkcji współczynniki kierunkowe muszą być sobie równe zatem przyrównujemy do siebie obie pochodne
\(\displaystyle{ 4-\frac{2 \cdot x^2-1}{x^{2}}=\frac{2}{x^{2}}}\)
i mamy
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
x=-\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
podstawiamy to do prostrzej postaci funkcji
\(\displaystyle{ f' \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) =\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}^{2}}=4}\)
wiemy już ze nasza prosta przyjmie postać
\(\displaystyle{ y=4x+b}\)
zajmijmy się teraz b
przyrównajmy prostą z parametrem b do \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\frac{2x^{2}-1}{x}}\)
i mamy
\(\displaystyle{ 2x^{2}+bx+1=0 ,}\)
zeby było jedno rozwiązanie przyjmujemy
\(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
i mamy:
\(\displaystyle{ b=\sqrt{8} \\
b=-\sqrt{8} \\}\)
czyli nasze 2 proste mają postać kolejno:
\(\displaystyle{ y=4x+\sqrt{8} \\
y=4x-\sqrt{8}}\)
teraz mozemy sobie narysować przykładowy trójącik o kącie prostym w punkcie 0,0
oraz bokach równych:
\(\displaystyle{ \sqrt{8}, \frac{1}{4}\sqrt{8}}\)
i licząc pole wychodzi 1
mam nadzieje ze wszystko jest dobrze ;>
metoda pana zygmunta:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\frac{2x^{2}-1}{x}}\)
liczymy pochodną
\(\displaystyle{ f' \left( x \right) =\frac{2x^{2}+1}{x^{2}} \\
f' \left( x_{0} \right) =\frac{2x_{0}^{2}+1}{x_{0}^{2}}}\)
rownanie stycznej:
\(\displaystyle{ y=a \left( x-x_{0} \right) +y_{0}}\)
współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a=y' \left( x_{0} \right)}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{2x_{0}^{2}+1}{x_{0}^{2}}}\)
rzędna punktu styczności
\(\displaystyle{ y_{0}=\frac{2x_{0}^{2}-1}{x_{0}}}\)
stąd
\(\displaystyle{ y=\frac{2x_{0}^{2}+1}{x_{0}^{2}}{ \left( x-x_{0} \right) }+\frac{2x_{0}^{2}-1}{x_{0}} \\
y=\frac{x \left( 2x_{0}^{2}+1 \right) -2x_{0}}{x_{0}^{2}}}\)
to jest rownanie stycznej
\(\displaystyle{ y=\frac{x \left( 2x_{0}^{2}+1 \right) }{x_{0}{2}}-\frac{2}{x_{0}}}\)
szukam przecięcia z osiami
z osią OY
\(\displaystyle{ x=0 \\
y=\frac{-2}{x_{0}}}\)
z osią OX
\(\displaystyle{ y=0\\
\frac{x \left( 2x_{0}^{2}+1 \right) }{x_{0}^{2}}-\frac{2}{x_{0}}=0 \\
x=\frac{2x_{0}}{x_{0}^{2}+1}}\)
Pole trójkąta=
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left|\frac{-2}{x_{0}}\right| \cdot \left|\frac{2x_{0}}{2x_{0}^{2}+1}\right|=1 \\
\frac{2}{2x_{0}^{2}+1}=1 \\
x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ x_{0}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
y_{0}=\frac{2x_{0}^{2}+1}{x_{0}} \\
x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\
y_{0}=4 \\
y=\sqrt{2}x \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
y=4x-2\sqrt{2} \\
x_{0}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
y=4x+2\sqrt{2}}\)