Matematyka.pl

1. Wykaż, że \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha + \sin 2 \beta +\sin 2 \gamma= 4 \sin ( \alpha + \beta ) \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ 2 \alpha +2 \beta +2 \gamma = \pi}\)

2.
Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\), prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ \sin ^{3}x \cdot \cos x - \cos ^{3}x \cdot \sin x \le \frac{1}{4}}\)

3.
Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{2\sin (2x)-3\cos (2x)}{4\sin (2x)+5\cos (2x)} = -\frac{9}{4}}\), jeżeli \(\displaystyle{ \tg x= 3}\).

Drugie coś powyciągaj, a w trzecim podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos 2x}\).

W drugim wyszło że \(\displaystyle{ \sin 4x \ge -1}\), a ta nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ x}\)?

1) Idzie normalnie - wyznacz z ostatniego \(\displaystyle{ 2\gamma}\) wstaw do pierwszego.

Pozamieniaj wszystko na funkcje pojedynczych kątów i grupuj na lewej aby dojść do prawej.

[edit] 2) tak wyjdzie, i jest spełnione dla każdego x-sa.

Drugie - jest ok.

W pierwszym po lewej mam coś takiego:
\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha (1-\cos 2 \beta ) + \sin 2 \beta (1- \cos 2 \alpha )}\)

I nie wiem co dalej :/

Rozpisz te cosinusy podwojonych kątów - tak żeby jedynki wyparowały. Sinusy też rozpisz i wyciągnij przed nawias czwórkę i cosinusy (te co mają zostać po prawej).