Matematyka.pl

Wykres funkcji g jest obrazem wykresu funkcji f okreslonej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\) w przesunięciu o wektor \(\displaystyle{ [0,a]}\).
Udowodnij, że jezeli \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}}\) są miejscami zerowymi funcji f takimi że \(\displaystyle{ \left| x_{1} - x_{2} \right|<1}\), to funkcja g nie ma miejsc zerowych

Bardzo trudne zadanie dla mnie szczerze mówiąc.
Doszedłem jedynie do postaci funkcji \(\displaystyle{ g(x)=ax^{2}+bx+a+c}\)

Ja bym próbowała tak. Niech \(\displaystyle{ a > 0}\), drugi przypadek będzie wyglądał analogicznie. Chcemy pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) przyjmuje tylko dodatnie wartości. Czyli ma ujemną deltę.

\(\displaystyle{ \Delta_g = b^2 - 4a(a+c) < 0.}\)

Z drugiej strony, możemy się umówić, że \(\displaystyle{ x_2 > x_1}\). Wtedy

\(\displaystyle{ |x_2-x_1| = \frac{-b+\sqrt{\Delta_f}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{\Delta_f}}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta_f}}{a} < 1.}\)

Czyli \(\displaystyle{ b^2 - 4ac < a^2}\). Chcieliśmy pokazać, że \(\displaystyle{ b^2-4ac < 4a^2}\). Chyba wszystko gra!

Medea 2 pisze:Czyli \(\displaystyle{ b^2 - 4ac < a^2}\)

Mi wyszło po prostu \(\displaystyle{ a}\) zamiast \(\displaystyle{ a^{2}}\), sprawdź czy to przekształcenie co Ty podałaś na pewno jest dobre.
Chociaż dla \(\displaystyle{ a>0}\) i tak jeżeli jakaś liczba jest mniejsza od x, to bedzie też mniejsza od czterokrotnego kwadratu liczby x.

Napiszesz jeszcze drugi przypadek \(\displaystyle{ a<0}\) bo coś mi nie chce wyjść (nie umiem tam tego minusa zastosować za bardzo)

Jest kwadrat, bo przecież \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta_f} = \sqrt{b^2-4ac}}\)...

Twoje drugie sformułowanie jest fałszywe. Weź \(\displaystyle{ \lambda = 1/1000}\). Wtedy \(\displaystyle{ 4\lambda^2 = 4 \cdot 10^{-6}}\), mniej niż \(\displaystyle{ \lambda}\).

Medea 2 pisze: Czyli \(\displaystyle{ b^2 - 4ac < a^2}\). Chcieliśmy pokazać, że \(\displaystyle{ b^2-4ac < 4a^2}\). Chyba wszystko gra!

No to tu tez to będzie fałszywe?
Faktycznie, swój błąd zrozumiałem, ale wobec tego co teraz piszesz, trochę się pogubiłem, bo znalazłaś liczbę.

Udowodnimy mocniejszą tezę, mianowicie, że jeśli \(\displaystyle{ \left| x_{1} - x_{2} \right|< 2}\), to funkcja \(\displaystyle{ g}\) nie ma pierwiastków. Oczywiście \(\displaystyle{ \left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1}-x_{2}\right)^{2} }= \sqrt{\left( x_{1}+x_{2}\right)^{2}+4x_{1}x_{2} }= \sqrt{ \frac{b^{2}-4ac}{a^{2}} }<2}\). Oczywiście deltę mamy założoną, że jest nieujemna. Możemy podnieść stronami do kwadratu, otrzymując, że \(\displaystyle{ b^{2} - 4ac - 4a^{2} < 0}\), a przecież \(\displaystyle{ \Delta_{g} = b^{2}-4ac-4a^{2}}\).

Ok ale chodziło o dowód \(\displaystyle{ -1 <x_{1} - x_{2} <1}\)
Masz jakiś pomysł na to albo potwierdzasz rozwiazanie zaproponowane przez użytkownika Medea 2?

Zahion pisze:Oczywiście \(\displaystyle{ \left| x_{1} - x_{2} \right| = \red\sqrt{\left( x_{1}-x_{2}\right)^{2} }= \sqrt{\left( x_{1}+x_{2}\right)^{2}+4x_{1}x_{2} }\black= \sqrt{ \frac{b^{2}-4ac}{a^{2}} }<2}\).

Raczej \(\displaystyle{ \sqrt{\left( x_{1}-x_{2}\right)^{2} }= \sqrt{\left( x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4x_{1}x_{2} }}\).

Michcio14 pisze:Ok ale chodziło o dowód \(\displaystyle{ -1 <x_{1} - x_{2} <1}\)
Masz jakiś pomysł na to albo potwierdzasz rozwiazanie zaproponowane przez użytkownika Medea 2?

No ale przecież dowód dla \(\displaystyle{ -2 <x_{1} - x_{2} <2}\) jest lepszy, bo ma słabsze założenie.

JK

Rzeczywiście nie zauważyłem, dziękuje za poprawę.
Aż dziwne, że nikt wcześniej nie zwrócił uwagi

Witam serdecznie, dziękuję za pomoc w rozwiązaniu problemu.
Poszły pkt pomógł, bądźcie czujni, bo będę zamieszczał kolejne zadanka.
Pozdrawiam!