Matematyka.pl

Witam. Proszę o pomoc z zadaniem:

Pokazać, że każdy wielokąt o wierzchołkach w punktach kratowych może być podzielony na trójkąty o wierzchołkach w punktach kratowych, z których każdy zawiera tylko te trzy punkty kratowe (nie ma na bokach ani wewnątrz innych punktów kratowych).

Wystarczy, że udowodnimy to dla trójkątów, a resztę wielokątów załatwimy rozbijając na jakiekolwiek "kratowe" trójkąty.

A więc: Załóżmy, że istnieje trójkąt, który ma w sobie jakieś punkty kratowe różne od wierzchołków i którego nie można tak podzielić. W szczególności istnieje taki trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), który ma w sobie najmniej punktów kratowych (jeżeli takich trójkątów jest więcej, bierzemy dowolny z nich). Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie punktem kratowym należącym do \(\displaystyle{ ABC}\) i nie będący wierzchołkiem. Rozważmy przypadek, kiedy nie leży on na żadnym boku (przypadek, gdy \(\displaystyle{ S}\) leży na którymś boku jest bardzo podobny). Popatrzmy na trójkąty \(\displaystyle{ SAB}\), \(\displaystyle{ SAC}\), \(\displaystyle{ SBC}\). Co możesz o nich powiedzieć? Ile punktów kratowych mają w sobie i co z tego wynika (pamiętaj o minimalności \(\displaystyle{ ABC}\))?

Na pewno każdy z nich ma mniej punktów kratowych różnych od wierzchołków niż trójkąt wyjściowy, bo teraz punkt \(\displaystyle{ S}\) jest już wierzchołkiem. Ponadto istnieje wśród nich taki, którego nie można podzielić w wiadomy sposób, a który ma w sobie jeszcze jakieś punkty kratowe, bo inaczej mielibyśmy podział \(\displaystyle{ ABC}\). Przeczy to minimalności \(\displaystyle{ ABC}\). O to chodzi?

Muszę jeszcze pokazać, że każdy trójkąt o wierzchołkach w punktach kratowych, który nie ma więcej punktów kratowych, ma pole równe \(\displaystyle{ 0,5}\).