Matematyka.pl

Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ z^{n} = \overline{z}}\)

Pisałem Ci już o tym w innym temacie - to jest fałszywe stwierdzenie.

Nie, jest prawdziwe, są rozwiązania

Ale zadanie nie jest sformułowane w wersji "Znajdź rozwiązania" tylko "wykaż, że (coś jest prawdziwe)".

Mam się domyślać treści zadania? W takim przypadku mogę sobie wymyślić, co tylko zechcę.

Rozwiąż równanie, tak brzmi treść zadania

Aha, teraz nieco więcej światła zostało rzucone, więc można próbować cokolwiek robić.

Według mnie najprościej jest skorzystać z postaci wykładniczej. Wtedy mamy

\(\displaystyle{ r^ne^{int}=re^{-it}}\)

czyli

\(\displaystyle{ r^n=r}\)

oraz

\(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\).

Równanie \(\displaystyle{ r^n=r}\) ma dwa rozwiązania.

Równanie \(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ e^{i(n+1)t}=1}\), czyli \(\displaystyle{ i(n+1)t=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\).

Szczegóły do samodzielnego uzupełnienia.

yorgin pisze: Równanie \(\displaystyle{ e^{int}=e^{-it}}\) jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ e^{i(n+1)t}=1}\), czyli \(\displaystyle{ i(n+1)t=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) .

Powinno być: \(\displaystyle{ (n+1)t=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) .

Nie wykorzystując postaci wykladniczej nie pójdzie?

Można wykorzystać postać trygonometryczną (de facto rozwiązanie przebiega tak samo jak u yorgin):
\(\displaystyle{ r^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)=r(\cos \alpha - i \sin \alpha)}\)
więc \(\displaystyle{ r^n=r}\), \(\displaystyle{ \cos n\alpha = \cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin n\alpha=-\sin \alpha = \sin (-\alpha)}\). Pozostaje znaleźć \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\).

Ok, mam \(\displaystyle{ r ^{n} - r =0}\)

Co dalej ? Włączam r i mam \(\displaystyle{ r(r^{(n-1)} - 1}\)

\(\displaystyle{ r=0}\) lub \(\displaystyle{ r^{(n-1)} = 1}\)

Zatem\(\displaystyle{ r = \sqrt[(n-1)]{1}}\)

To równanie rozwiązujemy w świecie liczb rzeczywistych, więc

\(\displaystyle{ r^{n-1}=1}\) daje \(\displaystyle{ r=1}\).

Co z tym drugim rozwiązaniem? Jak to rozumieć?-- 6 kwi 2015, o 21:10 --Ale dlaczego w rzeczywistych?

Promień w postaci wykładniczej jest liczbą rzeczywistą, nieujemną.