Matematyka.pl

Jakie kryterium aby sprawdzić zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{2n-1}}\)?

Kryterium porównawczego.

A z jakim znanym szeregiem to porównać?

Z szeregiem harmonicznym.

Ale jak z szeregiem harmonicznym? Z kryterium porównawczego musiałoby być \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \le \frac{1}{2n-1}}\) dla dużych \(\displaystyle{ n}\), a nie jest.

Ale zachodzi

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}\leq \frac{1}{2n-1}}\).

A jak sprawdzić zbieżność takiego szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^nn!}{n^n}}\)?

Nie jest zbieżny, bo wyrazy tego szeregu nie dążą do zera.
By wyliczyć tą granicę można skorzystać ze wzoru Stirlinga i wtedy natychmiastowo wychodzi, że wynosi nieskończoność.

Wyliczając \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) można pokazać, że ciąg jest rosnący.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\ln \left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)}\)

A jakie kryterium w przypadku takiego szeregu?

Skorzystaj z faktu, że: \(\displaystyle{ \ln \left( 1+x\right) \le x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) .

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sin\left(\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)}\)

A jak sprawdzić zbieżność takiego szeregu?

Ze wzoru na sinus podwojonego kąta mamy \(\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{1}{n}\right)= \frac{1}{2}\sin \left(\frac{2}{n}\right)}\), a dalej można użyć asymptotycznego kryterium porównawczego z wyrazami szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n}}\)

sinus podwojonego kąta a potem \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} \rightarrow 1}\) gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\)

sushi, ale jakie kryterium zbieżności?

Premislav, nie znałem tego kryterium, więc mógłbyś sprawdzić?

Chodzi o to, że \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}\sin \frac{2}{n}}{\frac{2}{n}} \rightarrow \frac{1}{2}}\) i szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{2}{n}}\) jest rozbieżny?