Matematyka.pl

Dowieść, że każda liczba zespolona \(\displaystyle{ z \neq -1}\) o module równym \(\displaystyle{ 1}\) może być przedstawiona w postaci \(\displaystyle{ z= \frac{1+ti}{1-ti}}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in \RR}\)
proszę pomóżcie

Należy wykazać, że:

• \(\displaystyle{ \left|\ \frac{1+ti}{1-ti}\ \right| = 1}\)
  
  \(\displaystyle{ \cos\left(\mbox{Arg}\ \frac{1+ti}{1-ti}\right)\in\left\langle-1;1\right\rangle}\)
  
  \(\displaystyle{ \sin\left(\mbox{Arg}\ \frac{1+ti}{1-ti}\right)\in\left\langle-1;1\right\rangle}\)

Oznacza to, że przy pomocy wyrażenia: \(\displaystyle{ z=\frac{1+ti}{1-ti}}\) można przedstawić wszystkie liczby \(\displaystyle{ z\neq-1\ \wedge\ \left|z\right|=1}\) .

Warunek \(\displaystyle{ z\neq-1}\) jest po to, aby było określone wyrażenie odwrotne do ww., tzn. \(\displaystyle{ t=\frac{z-1}{(z+1)i}}\) .

Dziękuję, ale zaczęłam od innej strony, próbowałam lewą stronę, wiedząc, że moduł jest równy 1, zapisać w postaci trygonometrycznej. Ciężko jest mi to ogarnąć

Skoro \(\displaystyle{ z=e^{ib}}\), to

\(\displaystyle{ z=\cos b+i\sin b=\ldots \\
\\
t=\tan \frac{b}{2}\\
\\
\cos b=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\
\\
\sin b=\frac{2t}{1+t^2}\\
\\
\ldots = \frac{1-t^2}{1+t^2}+i\frac{2t}{1+t^2}=\frac{1+it}{1-it}}\).

Podstawienie nie działa jedynie wtedy, gdy \(\displaystyle{ t\equiv \pi \mod 2\pi}\), czyli w szczególności dla \(\displaystyle{ z=-1}\).

A prościej nie idzie?
Moja lewa strona \(\displaystyle{ = \cos \pi + i \sin \pi}\)
Prawa \(\displaystyle{ \frac{1+ti}{1-ti}}\). Mnożę obie strony przez \(\displaystyle{ 1-ti}\). Czy tak Jest niepoprawnie?

epsylon pisze:A prościej nie idzie?

Moje rozumowanie jest całkowicie elementarne.

epsylon pisze: Moja lewa strona \(\displaystyle{ = \cos \pi + i \sin \pi}\)
Prawa \(\displaystyle{ \frac{1+ti}{1-ti}}\). Mnożę obie strony przez \(\displaystyle{ 1-ti}\). Czy tak Jest niepoprawnie?

Nie wiem. Jest to zaczątek jakiegoś rozumowania, które nie wiadomo, do czego ma prowadzić.

Nie mieliśmy tej postaci wykładniczej, nie bardzo się orientuję, skąd takie wartości sinusa i cosinusa, skąd ten tangens.

\(\displaystyle{ z=\begin{cases}\frac{1+0 \cdot i}{1-0 \cdot i},Im(z)=0 \\ \frac{1+i \cdot \frac{1-Re(z)}{Im(z)}}{1-i \cdot \frac{1-Re(z)}{Im(z)}}, Im(z) \neq 0 \end{cases}}\) gdzie \(\displaystyle{ Re, Im}\) to odpowiednio części rzeczywista i urojona.

Do seth, proszę objaśnij, jak doszedłeś do tej postaci.

epsylon pisze:Nie mieliśmy tej postaci wykładniczej

To usuń postać wykładniczą z mojego rozumowania. Nic się ponadto nie zmienia.

epsylon pisze: nie bardzo się orientuję, skąd takie wartości sinusa i cosinusa, skąd ten tangens.

Ten tangens to klasyczne podstawienie trygonometryczne w całkach, które można z powodzeniem zaadoptować do zadania.

Pomijając kontekst całek, wszystko jest wyjaśnione

epsylon pisze:Do seth, proszę objaśnij, jak doszedłeś do tej postaci.

Skoro \(\displaystyle{ |z|=1,z \neq -1}\), to istnieją rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\), że \(\displaystyle{ a^2+b^2=1,z=a+bi}\). Możesz zatem przyrównać \(\displaystyle{ \frac{1+ti}{1-ti}=a+bi}\). Sprowadź to równanie do postaci \(\displaystyle{ x+iy=w+ir}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y,w,r \in \mathbb{R}}\). Otrzymasz stąd \(\displaystyle{ \begin{cases}x=w \\ y=r \end{cases}}\). Wywnioskuj stąd \(\displaystyle{ t}\) korzystając z \(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\).

Proszę, rozpisz mi to krok po kroku. Powoli zaczynam rozumieć... Będę bardzo wdzięczna.

Skoro \(\displaystyle{ |z|=1,z \neq -1}\), to istnieją rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\), że \(\displaystyle{ a^2+b^2=1,z=a+bi}\). Możesz zatem przyrównać \(\displaystyle{ \frac{1+ti}{1-ti}=a+bi}\)

Rozwiązujesz to równanie:

\(\displaystyle{ \frac{1+ti}{1-ti}=a+bi \\ (a+bi)(1-ti)=1+ti \\ (a+bt)+(b-at)i=1+ti}\) skąd

\(\displaystyle{ \begin{cases}a+bt=1 \\ b-at=t\end{cases} \\ *\begin{cases}bt=1-a \\ t(1+a)=b \end{cases}}\)

1. przypadek \(\displaystyle{ b=0}\), wtedy w \(\displaystyle{ *}\) musi być \(\displaystyle{ t=0}\)
2. przypadek \(\displaystyle{ b \neq 0}\), wtedy w \(\displaystyle{ *}\) musi być \(\displaystyle{ t,1+a \neq 0}\) skąd wyznaczając z pierwszego równania \(\displaystyle{ t=\frac{1-a}{b}}\) i podstawiając do drugiego otrzymasz \(\displaystyle{ \frac{1-a}{b} \cdot (1+a)=b}\), co daje \(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\), a co wynika z założenia o \(\displaystyle{ z}\), więc \(\displaystyle{ \begin{cases}bt=1-a \\ t(1+a)=b \end{cases} \Leftrightarrow t=\frac{1-a}{b}}\).

Stąd już wprost wynika, że w przypadku \(\displaystyle{ z=1}\) wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ t=0}\), w przypadku zaś \(\displaystyle{ z \neq 1}\) wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ t=\frac{1-a}{b}}\), skąd wynikają podane wyżej wzory.

Seth, mam jeszcze jedno zadanie. Dowieść, że \(\displaystyle{ z}\) do potęgi \(\displaystyle{ n}\) równa się sprzężenie \(\displaystyle{ z}\).

-- 4 kwi 2015, o 17:14 --

W dalszym ciągu nie wiem skąd ta liczba \(\displaystyle{ w}\), co to jest za liczba?

epsylon pisze:Dowieść, że \(\displaystyle{ z}\) do potęgi \(\displaystyle{ n}\) równa się sprzężenie \(\displaystyle{ z}\).

Jakie są założenia? W ogólności to nie jest prawda.

Pytanie dodatkowe - czy próbowałaś zrozumieć moje rozwiązanie, czy odrzucasz je, bo jest "za trudne", zawiera "trudne przekształcenia" czy może inny powód?