Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dla których wielomian \(\displaystyle{ W(x)=3x^{4}-8x ^{3} +3m ^{2} x ^{2}}\) ma ekstrema lokalne w trzech różnych punktach?
Takie pytanie jak w ogóle zacząć to zadanie? od czego zależy ilosc ekstremów?

2)Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +8x ^{3} +18x ^{2} +8x+17}\). Wyznacz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ k}\) dla których \(\displaystyle{ W(k)}\) jest liczbą pierwszą.

1. Wiesz co to jest pochodna funkcji i jak się liczy ekstrema ?
2. Zauważ, że dany wielomian jest postaci \(\displaystyle{ \left( x^{2}+1\right)\left( x^{2}+8x+17\right)}\) Teraz skorzystaj z definicji liczby pierwszej.

Wiem jak się liczy ekstrema, hmm powiedzmy, że wyznaczę te ekstrema i nie wiem co dalej

Przyrównujesz pochodną do zera ( chcesz mieć trzy różne ekstrema, czyli też trzy różne pierwiastki ) i warunki konieczne/ dostateczne na istnienie ekstrema.

Aha, dzięki wielkie za pomoc-- 3 kwi 2015, o 10:31 --Mam pytanie do zadania 2. Nie mogę zrozumieć w jaki sposób Pan zapisał ten wielomian w postaci iloczynowej. Z czego pan korzystał?

Jeżeli wielomian ma nieparzystą liczbę wyrazów, to czasem udaje się po rozbiciu jednego z nich na dwa, sprytnie pogrupować wyrazy, jak to miało miejsce tutaj:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +8x ^{3} +18x ^{2} +8x+17=x ^{4} +8x ^{3} +17x ^{2}+x^2 +8x+17=x^{2} ( x^{2}+8x+17)+1 ( x^{2}+8x+17)=(x^2+1)( x^{2}+8x+17)}\).
Zahion wybacz, nie było Cię to odpowiedziałem za Ciebie.

Ewentualnie jak nie jesteś na tyle sprytny, żeby to pogrupować to możesz postąpić inaczej:
a) Na przykład spojrzeć na wyraz wolny i współczynnik wiodący wielomianu. Skoro mamy: \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +8x ^{3} +18x ^{2} +8x+17}\) to po rozłożeniu na czynniki otrzymay \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\) (bo po wymnożeniu współczynnik przy \(\displaystyle{ x^4}\) musi być równy jeden. Teraz wszystko powymnażać, otrzymamy: \(\displaystyle{ W(x)=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(ad+bc)x+bd}\). Zatem mamy do rozwiązania układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=8 \\ b+ac+d=18 \\ ad+bc=8 \\ bd=17 \end{cases}}\).
Widać, że w szczególności ostatnie równanie spełnia \(\displaystyle{ b=17, d=1}\), więc z pierwszego i trzeciego równania mamy \(\displaystyle{ c=0 \wedge a=8}\). Zatem \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+8x+17)(x^2+1)}\).
b) Można np. skorzystać z metody Ferrariego. Przerzucamy wyrazy w drugiej, pierwszej i zerowej potędze na prawą stronę:
\(\displaystyle{ x^4+8x^3=-18x^2-8x-17}\)
Lewą stronę uzupełniamy do kwadratu, czyli dodajemy obustronnie \(\displaystyle{ 16x^2}\).
\(\displaystyle{ (x^2+4x)^2=-2x^2-8x-17}\).
Prawą stronę też chcemy zapisać w postaci kwadratu jakiejś liczby, ale żeby móc to zrobić musimy uzależnić tę stronę od jakiejś niewiadomej. W tym celu wprowadzamy nową niewiadomą \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ (x^2+4x+y)^2=(2y-2)x^2+(8y-8)x+y^2-17}\).
Teraz, aby prawa strona była kwadratem jakiejś liczby, musi zachodzić \(\displaystyle{ \Delta=0}\), zatem:
\(\displaystyle{ (8y-8)^2=4(2y-2)(y^2-17)}\).
Rozwiązujemy to równanie, jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ y=9}\). Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ (x^2+4x+9)^2=(4x+8)^2}\).
No i już jesteśmy w domu, przerzucamy prawą stronę z powrotem na lewą i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

Dzięki wielkie za pomoc i za rady, w jaki sposób można pogrupować wielomian.
Wesołych Świąt