Strona 1 z 1
dowod własności liczb trójkątnych
: 30 mar 2015, o 20:38
autor: agusia141414
Mam problem a mianowicie nie wiem jak zabrać się za dowód pewnej własności liczb trójkątnych, a mianowicie ze kazda liczba postaci \(\displaystyle{ 21, 2211, 222111, 22221111}\), itd jest liczbą trójkątną...
Liczba trójkątna to liczba postaci
\(\displaystyle{ t_{n}= \frac{1}{2}n(n+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in N}\)
dowod własności liczb trójkątnych
: 30 mar 2015, o 20:44
autor: yorgin
Wskazówka:
\(\displaystyle{ 42=6\cdot 7\\
\\
4422=66\cdot 67\\
\\
444222=666\cdot 667\\
\\
\ldots}\)
dowod własności liczb trójkątnych
: 30 mar 2015, o 20:49
autor: agusia141414
wiem że
\(\displaystyle{ t _{6} = \frac{1}{2} 6(6+1)=21}\)
\(\displaystyle{ t _{66} = \frac{1}{2} 66(66+1)=2211}\)
\(\displaystyle{ t _{666} = \frac{1}{2} 666(66+1)=222111}\)
ale to nie jest dowód...
dowod własności liczb trójkątnych
: 30 mar 2015, o 21:24
autor: Zahion
Tak jak napisał yorgin, jest to wskazówka.
Zapisz liczbę jaką otrzymujesz w postaci \(\displaystyle{ N = a_{n}10^{n} + ... + a_{1}10 + a_{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\) to \(\displaystyle{ i}\) - ta cyfra.
dowod własności liczb trójkątnych
: 30 mar 2015, o 21:39
autor: agusia141414
zapisuję:
\(\displaystyle{ 21=2 \cdot 10 ^{1}+10 ^{0}+1}\)
\(\displaystyle{ 2211=2 \cdot 10 ^{3}+2 \cdot 10 ^{2}+10^1+10^0+1}\)
\(\displaystyle{ 222111=2 \cdot 10 ^{5}+2 \cdot 10 ^{4}+10^3+10^2+10^1+10^0+1}\)
dowod własności liczb trójkątnych
: 30 mar 2015, o 21:46
autor: Zahion
Nie chodzi o tą postać.
\(\displaystyle{ N = 4 \cdot 10^{2n-1} + 4 \cdot 10^{2n-2} + ... + 4 \cdot 10^{n} + 2 \cdot 10^{n-1} + ... + 10 + 2}\). Zgodzisz się, że jest to zapis ogólny ?
Następnie połącz w pary sumy \(\displaystyle{ 4 \cdot 10^{2n -i} + 2 \cdot 10^{n-i}}\) wyciągnij \(\displaystyle{ 2 \cdot 10^{n-i}}\) przed nawias i zauważ, że można dalej coś wyciągnąć.
dowod własności liczb trójkątnych
: 30 mar 2015, o 22:05
autor: agusia141414
a czy nie zgubiles \(\displaystyle{ 2}\) przy \(\displaystyle{ 10}\) ?
dowod własności liczb trójkątnych
: 30 mar 2015, o 22:10
autor: Zahion
Tak, powinna tam być. Wiesz jak dalej dokończyć zadanie ?
dowod własności liczb trójkątnych
: 30 mar 2015, o 22:16
autor: agusia141414
nie... nie do konca... kurcze zamotalam sie.. chyba juz nie mysle
dowod własności liczb trójkątnych
: 30 mar 2015, o 22:33
autor: Zahion
Okej to może tak
\(\displaystyle{ 4 \cdot 10^{2n-1} + 4 \cdot 10^{2n-2} + ... + 4 \cdot 10^{n} + 2 \cdot 10^{n-1} + ... + 2 \cdot 10 + 2 = \left( 4 \cdot 10^{2n-1} + 2 \cdot 10^{n-1}\right) + \left( 4 \cdot 10^{2n-2} + 2 \cdot 10^{n-2} \right) + ... + \left( 4 \cdot 10^{n} +2 \right) = 2 \cdot 10^{n-1} \left( 2 \cdot 10^{n} + 1 \right) + 10^{n-2} \left( 2 \cdot 10^{n} + 1 \right) + ... + 2\left( 2 \cdot 10^{n} + 1 \right) = 2 \cdot \left( 2 \cdot 10^{n} + 1\right)\left( 10^{n-1} + 10^{n-2} + ... + 1\right) = 2 \left( 2 \cdot 10^{n} + 1\right)\left( \frac{10^{n} - 1}{10 - 1} \right) = \left( 2 \cdot 10^{n} + 1\right)\left( \frac{2 \cdot 10^{n} - 2}{9} \right)}\)
dowod własności liczb trójkątnych
: 31 mar 2015, o 10:33
autor: agusia141414
rozumiem te przekształcenia, ale nie rozumiem do czego to zmierza, jakie to ma powiązanie z liczbą trójkątną...
dowod własności liczb trójkątnych
: 31 mar 2015, o 13:35
autor: yorgin
\(\displaystyle{ \frac{2\cdot 10^n+1}{3}=\underbrace{6\ldots 6}_{\times (n-1)}7}\)
\(\displaystyle{ \frac{2\cdot 10^n-2}{3}=\underbrace{6\ldots 6}_{\times n}}\)
Iloczyn tych liczb to \(\displaystyle{ \underbrace{4\ldots 4}_{\times n}\underbrace{2\ldots 2}_{\times n}}\).
Teraz widzisz?
dowod własności liczb trójkątnych
: 3 kwie 2015, o 11:38
autor: agusia141414
no wlasnie nie... ;/
dowod własności liczb trójkątnych
: 4 kwie 2015, o 02:17
autor: Zahion
Mamy wyrażenie \(\displaystyle{ \left( 2 \cdot 10^{n} + 1\right)\left( \frac{2 \cdot 10^{n} - 2}{9} \right)}\)
Zauważ, że każda z tych liczb jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
Niech \(\displaystyle{ 3s = 2 \cdot 10^{n} + 1}\). Wtedy to wyrażenie zapiszemy w postaci \(\displaystyle{ \left( 2 \cdot 10^{n} + 1\right)\left( \frac{2 \cdot 10^{n} - 2}{9} \right) = \frac{3s\left( 3s+3\right) }{9}= s\left( s+1\right)}\), a jako, że na początku wzieliśmy liczbę dwukrotnie większą, więc nasza liczba jest postaci \(\displaystyle{ \frac{s\left( s+1\right) }{2}}\), czyli jest liczbą trójkątna.
dowod własności liczb trójkątnych
: 7 kwie 2015, o 11:29
autor: agusia141414
dziękuję !