Zbieżność warunkowa szeregu z parametrem.

[Magda6686]

Proszę o pomoc w znalezieniu ewentualych błędów w poniższym rozwiązaniu zadania:

Zadanie:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ s \in R}\) szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{1-2s}}}\)
jest zbiezny warunkowo?

Rozwiązanie:

Zbieżny warunkowo tzn. że szereg ten ma być zbieżny ale nie być zbieżny bezwzględnie.

Sparwdzam więc kiedy ten szereg nie jest zbieżny:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{1-2s}}}\)
Nie jest on zbieżny gdy \(\displaystyle{ 1-2s \le 1}\) czyli gdy \(\displaystyle{ s \ge 0}\). (dla takiej wartości parametru szereg o ktory pytamy nie jest zbieżny bezwględnie).


Teraz pozostaje sprawdzić kiedy ten pierwszy szereg jest zbieżny.
Skozrystam z twierdzenia Leibnitza:
czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{1-2s}}=
- \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n^{1-2s}}}\)
i teraz wiem że ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{1-2s}}}\) powinien być nierosnący i zbieżny do 0,
tak jest dla \(\displaystyle{ 1-2s > 0}\)

czyli ostatecznie \(\displaystyle{ s \in <0 ; \frac{1}{2} )}\)

tylko teraz:

Czy to jest dobrze?
Chciała bym mieć pewnosć że nic mi nie umknęło.

[Dasio11]

1. Dla \(\displaystyle{ s = \frac{1}{2}}\) szereg jest rozbieżny.

2. Dla \(\displaystyle{ s \in \left< 0, \frac{1}{2} \right)}\) spełnione są założenia kryterium Leibniza, więc szereg jest zbieżny. Dla \(\displaystyle{ s \ge \frac{1}{2}}\) te założenia nie są spełnione, ale może szereg i tak jest zbieżny? Trzeba sprawdzić, że nie.

[Magda6686]

Proszę o jakąś podpowiedź jak to można sprawdzić, które kryterium byłoby tu najwygodniejsze?

Może być tak?
Dla \(\displaystyle{ s > \frac{1}{2}}\) wyraz ogólny szeregu nie zbiega do 0 więc z braku spełnienia warunku koniecznego szereg ten nie może być zbieżny na tym przedziale.

[Dasio11]

Ok.

[Magda6686]

I to na pewno jest dobrze?
Czy tu nie będzie jeszcze potrzebne krterium Dirichleta?

[Dasio11]

Nie, dlaczego? Kryterium Leibniza wystarczy.