Matematyka.pl

Proszę o wyliczenie krok po kroku
Równanie kwadratowe \(\displaystyle{ kx^2-(k^2+4)x+1=0}\) ma dwa różne pierwiastki.Znajdż tę wartość parametru k , dla której suma pierwiastków danego równania jest najmniejsza oraz tę wartość parametru k, dla której suma pierwiastków tego równania jest największa.Dla znalezionych wartości parametru oblicz sumę pierwiastków równania.
Nie wiem co robię żle ale najmniejsza wychodzi mi dla k=2 a największa dla k=-2 (powinno być na odwrót)

Dobrze by było jakbyś napisał swoje rozwiązanie ,ale strzelam że źle narysowałeś wykres pochodnej np:zapomniałeś że jak się wyciągnie to stoi tam minus.I zacząłeś od złej strony rysować.

Pochodna wychodzi mi taka: \(\displaystyle{ f '(x)=(k^2-4)/k^2}\) i wykres ma ramiona skierowane do góry.

A czemu na dole jest "2" ?

Powinno być w mianowniku \(\displaystyle{ k^2}\) ,ale nawet z tym (policzyłem przed chwilą) wychodzi mi że faktycznie jest w -2 maksimum a w 2 minimum.

Czyli pewnie w odpowiedziach jest błąd.Dziękuję.

Pewnie tak.Oczywiście z "tym" ,miałem na myśli z \(\displaystyle{ k^2}\)

Na odwrót byłoby wtedy, gdyby przed \(\displaystyle{ (k^2+4)x}\) zamiast minusa był plus. Jeżeli nie popełniłeś błędu przy przepisywaniu, to Twój wynik jest dobry.

Natomiast mnie się wydaje, że to zadanie nie ma rozwiązania.

Funkcja sumy tych pierwiastków to \(\displaystyle{ f(k)= \frac{k ^{2}+4 }{k}}\) i licząc pochodną, rzeczywiści wychodzi, że maksimum lokalne jest dla \(\displaystyle{ k=-2, (f(-2)=-4)}\) i że minimum lokalne jest dla \(\displaystyle{ k=2, (f(2)=4)}\). I w odpowiedziach właśnie tak jest, że ta suma pierwiastków jest najmniejsza w maksimum lokalnym, a największa w minimum lokalnym.

Ale przecież, gdy spojrzymy na wykres ten funkcji to zbiór jej wartości to \(\displaystyle{ \RR \setminus\left\{ 0\right\} }\) dla dziedziny \(\displaystyle{ k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\} }\)

Dziwne zadanie.

Zbiór wartości tej funkcji to nie \(\displaystyle{ \RR \setminus \{ 0 \}}\), natomiast zadanie istotnie jest sknocone.

Próby rozwiązań przedstawione powyżej maja jeden brak: nikt nie sprawdził, czy dla wszystkich `k` równanie ma dwa pierwiastki.

Poza tym zadanie jest jak najbardziej OK, natomiast odpowiedzi (zarówno w książce jak i tutaj) są niepoprawne.

Suma pierwiastków dana jest wzorem `(k^2+4)/k` i jak łatwo widać dąży do nieskończoności gdy `k` dąży do nieskończoności lub do zera z prawej strony. Stąd wniosek, że suma pierwiastków nie ma największej wartości.

Podobnie dla `k` dążącego do minus nieskończoności lub do zera z lewej, suma pierwiastków dąży do minus nieskończoności, zatem nie ma również wartości najmniejszej,

a4karo pisze: 18 sty 2022, o 12:54Stąd wniosek, że suma pierwiastków nie ma największej wartości.
[...]
nie ma również wartości najmniejszej,

Skoro więc polecenie każe "znaleźć \(\displaystyle{ k}\), dla którego wartość jest najmniejsza/największa" - a nie rozstrzygnąć, czy takie \(\displaystyle{ k}\) istnieje - to ja pozostaję przy zdaniu, że zadanie jest źle sformułowane.

No niby tak, ale w ten sposób zawstydziłeś poszukiwaczy kamienia filozoficznego...

Inna sprawa, że takie źle sformułowane zadania są dużo bardziej pouczające niż te sztampowe. Pewnie niewielu nauczycieli podejmie się głębszej analizy . W szczególności mało który zwróci uwagę na to, że rozwiązanie nie kończy się na znalezieniu miejsc zerowych pochodnej.