[MIX] Zadania różne XII
: 28 mar 2015, o 13:30
1. rozwiązane przez yorgina
Udowodnić że równanie \(\displaystyle{ y^{\prime} = \frac{xy^3}{x^2y+2}}\) ma rozwiązanie w formie uwikłanej
\(\displaystyle{ x^2-1= Ce^{ - \frac{2}{y}} - \frac{2}{y}}\)
2. Jeśli spośród \(\displaystyle{ 2n+1}\) liczb usunąć dowolną z nich to pozostałe można podzielić na rozłączne \(\displaystyle{ n}\) elementowe zbiory o równej sumie elementów . Udowodnić, że wszystkie te liczby są równe
3. rozwiązane przez gusa
Na bokach trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) są punkty: \(\displaystyle{ D}\) - na \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ E}\) - na \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ F}\) - na \(\displaystyle{ AB}\) oraz \(\displaystyle{ CD=2BD}\), \(\displaystyle{ BF = 2AF}\) i kąt \(\displaystyle{ DFE=90^{o}}\). Wykazać, że kąty \(\displaystyle{ FEA}\) i \(\displaystyle{ FED}\) są równe
4. Niech \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} f \left( 0 \right) =0\\ f \left( 1 \right) = 1 \\ f \left( x^2 + \frac{1}{x} \right) = f \left( x \right) ^2 + f \left( \frac{1}{x} \right) \ x \neq 0 \end{cases}}\)
Udowodnić że \(\displaystyle{ f}\) nie jest ograniczona od góry.
Korea
5. Ile jest permutacji \(\displaystyle{ \pi: \left\{ 1, ..., n \right\} \mapsto \left\{ 1, ..., n \right\}}\) takich, że \(\displaystyle{ |\pi \left( j+1 \right) - \pi \left( j \right) | \leq 1}\) dla \(\displaystyle{ j =1, ..., n-1}\) ?
6. Liczba zdublowana to taka, która jest podwójną sekwencją tego samego ciągu cyfr (np. zdublowane są liczby \(\displaystyle{ 166166}\), \(\displaystyle{ 5454}\) , \(\displaystyle{ 33 813 381}\), ale np. \(\displaystyle{ 1661}\) nie jest zdublowana itd. ) Wykazać, że kwadrat liczby zdublowanej nie jest nigdy liczbą zdublowaną.
7. Udowodnić że wśród \(\displaystyle{ 2n+1}\) liczb nieparzystych, z których każda jest dodatnia, ale nie większa niż \(\displaystyle{ 6n}\) jest taka, która dzieli jakąś inną.
Kömal
8. rozwiązane przez Kartezjusza
Niech \(\displaystyle{ G \left( n \right)}\) będzie liczbą naturalną najbliższą \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \left( \frac{n+3}{2} \right) ^2}\). Wykazać, iż \(\displaystyle{ G \left( n \right) = G \left( n-6 \right) + n}\) dla \(\displaystyle{ n>6}\)
9. Okrąg podzielono \(\displaystyle{ 3k}\) punktami na \(\displaystyle{ 3k}\) łuków. W tym \(\displaystyle{ k}\) łuków ma długość 1, \(\displaystyle{ k}\) - długość 2 oraz \(\displaystyle{ k}\) - długość 3. Udowodnić istnienia wśród tych \(\displaystyle{ 3k}\) punktów dwóch antypodycznych.
10. Na prostej dane są trzy różne punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\). Skonstruować okrąg na którym są punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) a styczne z punktu \(\displaystyle{ C}\) są do siebie prostopadłe. Czy taka konstrukcja zawsze istnieje ?
11. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_1 - x_2 - x_3 - x_5 = 0 \\ -x_1 + 3x_2 - x _4 - x_6=0 \\-x_1 + 3x_3 - x_4 - x_7=0 \\ -x_2 - x_3 + 3x_4 - x_8=0 \\ -x_1 + 3x_5 - x_6 - x_7=0 \\ -x_2 - x_5 +3x_6 - x_8=0 \\ -x_3 - x_5 + 3x_7 - x_8=0 \\ -x_4 - x_6 -x_7 + 3x_8=0 \end{cases}}\)
12. Udowodnić, że nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y}\) takie że \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2}\) oraz \(\displaystyle{ x^2-xy+y^2}\) są kwadratami liczb całkowitych.
W.S.
13. Czy można pokolorować liczby rzeczywiste nieujemne na biało i czarno w taki sposób, aby żadne trzy różne liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) takie, że \(\displaystyle{ a+c=2b}\) nie były tego samego koloru ? Czy można w taki sam sposób pomalować zbiór liczb całkowitych nieujemnych ?
14. Niech \(\displaystyle{ x \neq -1}\) i \(\displaystyle{ y \neq -1}\) będą takimi liczbami całkowitymi, że liczba \(\displaystyle{ \frac{x^4-1}{y+1} + \frac{y^4-1}{x+1}}\) też jest całkowita. Wykazać, że \(\displaystyle{ x^4y^{44} -1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ x+1}\)
Wietnam
15. rozwiązane przez Kartezjusza
Iloma cyframi-zerami kończy się każda z liczb \(\displaystyle{ 100!}\), \(\displaystyle{ 100!!}\) , \(\displaystyle{ !100}\) ? ; przy czym \(\displaystyle{ !100=1^1 \ 2^2 \ ... \ 100^{100}}\),
16. rozwiązane przez Qnia
Majac dane
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^5y^3z^5 = 1 \\ xyz^{2}=2 \\x^{18}y^{11}z^{20}=3 \end{cases}}\)
obliczyć \(\displaystyle{ xyz}\)
17. rozwiązane przez Qnia
Rozwiązać to równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{NWD \left( a, b \right) } + \frac{1}{NWW \left( a, b \right) } =\frac{1}{2}}\)
gdy \(\displaystyle{ a, b \in N}\)
18. rozwiązane przez Qnia i Elayne
Zadanie Lewisa Carolla
Wyznaczyć trzy trójkąty pitagorejskie o równym polu
Uwagi: Trójkąt pitagorejski to taki, który jest prostokątny a długości jego boków są liczbami naturalnymi
19. Udowodnić Twierdzenie o liczbach trójkątnych: E Lionett :
Każda liczba naturalna jest sumą kwadratu (liczby całkowitej) i dwóch bądź mniej liczb trójkątnych;
Wskazać liczbę, która nie jest sumą kwadratu (liczby całkowitej) i liczby trójkątnej.
W.S.
20. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie \(\displaystyle{ 101}\) elementowym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ S= \left\{ 1, ..., 10^6 \right\}}\). Udowodnić, że istnieją \(\displaystyle{ t_1, ..., t_{100} \in S}\) takie, że gdy \(\displaystyle{ A_j = \left\{ x+ t_j \ x \in A \right\}}\) dla \(\displaystyle{ j=1, ..., 100}\) to \(\displaystyle{ A_i \cap A_j = \emptyset}\) gdy \(\displaystyle{ i \neq j}\)
21. Czy istnieje \(\displaystyle{ n}\) które wspak jest równe \(\displaystyle{ 3n}\) ?
22. rozwiązane przez fon_nojmana
Znaleźć taki wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W \left( 1 \right) =1 \\ W \left( 2 \right) =3 \\ W \left( 3 \right) =15 \end{cases}}\)
który ma najmniejszą sumę wartości bezwzględnych swoich współczynników.
Czy odpowiedz będzie inna dla wielomianów o współczynnikach rzeczywistych ?
23. rozwiązane przez fon_nojmana i Qnia
Która z tych liczb jest największa a która najmniejsza: \(\displaystyle{ 99^{101}}\) , \(\displaystyle{ 100^{100}}\) , \(\displaystyle{ 101^{99}}\) ?
24. Na ile sposobów można umieścić 30 osób w trzech pokojach, jeśli żaden pokój nie może być pusty ?
25. Liczby naturalne pomalowano na biało bądź czarno. Suma dowolnych dwóch liczb różnokolorowych jest czarna, a ich iloczyn biały. Jakiego koloru jest iloczyn dwóch liczb białych ?
Wyznaczyć wszystkie takie pokolorowania.
26. Wykaż lub obal: Na spotkaniu jest 500 matematyków, z których każda zna dokładnie 400 innych. Wtedy istnieje klika 6-osobowa (tj. grupa sześciu osób w której każdy zna się z każdym).
27. rozwiązane przez AndrzejK
Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{x-5}{x+2}} +\sqrt{\frac{x-4}{x+3}} - \frac{7}{x+2} \sqrt{\frac{x+2}{x+3}}=0}\)
28. rozwiązane przez yorgina
Udowodnić że jest \(\displaystyle{ 2F_{n+1}}\) wszystkich słów długości \(\displaystyle{ n}\) nad alfabetem \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1 \right\}}\), w których nie ma sekwencji trzech zer, ani trzech jedynek; (zaś \(\displaystyle{ F_n}\) to ciąg Fibonacciego)
29. rozwiązane przez yorgina i a4karo
Czy na płaszczyźnie istnieje skończona ilość parabol, takich że dowolny punkt tej płaszczyzny jest we wnętrzu jednej z nich ?
Uwagi: Wnętrze paraboli to figura wypukła, której brzegiem jest ta parabola.
30. rozwiązane przez Qnia
Uprościć to wyrażenie:
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}} - \frac{ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}} \right) : \left( \frac{8}{ \left( \frac{x+y}{x-y}+ \frac{x-y}{x+y} \right) \left( \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} -2 \right) } \right)}\)
Udowodnić że równanie \(\displaystyle{ y^{\prime} = \frac{xy^3}{x^2y+2}}\) ma rozwiązanie w formie uwikłanej
\(\displaystyle{ x^2-1= Ce^{ - \frac{2}{y}} - \frac{2}{y}}\)
2. Jeśli spośród \(\displaystyle{ 2n+1}\) liczb usunąć dowolną z nich to pozostałe można podzielić na rozłączne \(\displaystyle{ n}\) elementowe zbiory o równej sumie elementów . Udowodnić, że wszystkie te liczby są równe
3. rozwiązane przez gusa
Na bokach trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) są punkty: \(\displaystyle{ D}\) - na \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ E}\) - na \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ F}\) - na \(\displaystyle{ AB}\) oraz \(\displaystyle{ CD=2BD}\), \(\displaystyle{ BF = 2AF}\) i kąt \(\displaystyle{ DFE=90^{o}}\). Wykazać, że kąty \(\displaystyle{ FEA}\) i \(\displaystyle{ FED}\) są równe
4. Niech \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} f \left( 0 \right) =0\\ f \left( 1 \right) = 1 \\ f \left( x^2 + \frac{1}{x} \right) = f \left( x \right) ^2 + f \left( \frac{1}{x} \right) \ x \neq 0 \end{cases}}\)
Udowodnić że \(\displaystyle{ f}\) nie jest ograniczona od góry.
Korea
5. Ile jest permutacji \(\displaystyle{ \pi: \left\{ 1, ..., n \right\} \mapsto \left\{ 1, ..., n \right\}}\) takich, że \(\displaystyle{ |\pi \left( j+1 \right) - \pi \left( j \right) | \leq 1}\) dla \(\displaystyle{ j =1, ..., n-1}\) ?
6. Liczba zdublowana to taka, która jest podwójną sekwencją tego samego ciągu cyfr (np. zdublowane są liczby \(\displaystyle{ 166166}\), \(\displaystyle{ 5454}\) , \(\displaystyle{ 33 813 381}\), ale np. \(\displaystyle{ 1661}\) nie jest zdublowana itd. ) Wykazać, że kwadrat liczby zdublowanej nie jest nigdy liczbą zdublowaną.
7. Udowodnić że wśród \(\displaystyle{ 2n+1}\) liczb nieparzystych, z których każda jest dodatnia, ale nie większa niż \(\displaystyle{ 6n}\) jest taka, która dzieli jakąś inną.
Kömal
8. rozwiązane przez Kartezjusza
Niech \(\displaystyle{ G \left( n \right)}\) będzie liczbą naturalną najbliższą \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \left( \frac{n+3}{2} \right) ^2}\). Wykazać, iż \(\displaystyle{ G \left( n \right) = G \left( n-6 \right) + n}\) dla \(\displaystyle{ n>6}\)
9. Okrąg podzielono \(\displaystyle{ 3k}\) punktami na \(\displaystyle{ 3k}\) łuków. W tym \(\displaystyle{ k}\) łuków ma długość 1, \(\displaystyle{ k}\) - długość 2 oraz \(\displaystyle{ k}\) - długość 3. Udowodnić istnienia wśród tych \(\displaystyle{ 3k}\) punktów dwóch antypodycznych.
10. Na prostej dane są trzy różne punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\). Skonstruować okrąg na którym są punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) a styczne z punktu \(\displaystyle{ C}\) są do siebie prostopadłe. Czy taka konstrukcja zawsze istnieje ?
11. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x_1 - x_2 - x_3 - x_5 = 0 \\ -x_1 + 3x_2 - x _4 - x_6=0 \\-x_1 + 3x_3 - x_4 - x_7=0 \\ -x_2 - x_3 + 3x_4 - x_8=0 \\ -x_1 + 3x_5 - x_6 - x_7=0 \\ -x_2 - x_5 +3x_6 - x_8=0 \\ -x_3 - x_5 + 3x_7 - x_8=0 \\ -x_4 - x_6 -x_7 + 3x_8=0 \end{cases}}\)
12. Udowodnić, że nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y}\) takie że \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2}\) oraz \(\displaystyle{ x^2-xy+y^2}\) są kwadratami liczb całkowitych.
W.S.
13. Czy można pokolorować liczby rzeczywiste nieujemne na biało i czarno w taki sposób, aby żadne trzy różne liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) takie, że \(\displaystyle{ a+c=2b}\) nie były tego samego koloru ? Czy można w taki sam sposób pomalować zbiór liczb całkowitych nieujemnych ?
14. Niech \(\displaystyle{ x \neq -1}\) i \(\displaystyle{ y \neq -1}\) będą takimi liczbami całkowitymi, że liczba \(\displaystyle{ \frac{x^4-1}{y+1} + \frac{y^4-1}{x+1}}\) też jest całkowita. Wykazać, że \(\displaystyle{ x^4y^{44} -1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ x+1}\)
Wietnam
15. rozwiązane przez Kartezjusza
Iloma cyframi-zerami kończy się każda z liczb \(\displaystyle{ 100!}\), \(\displaystyle{ 100!!}\) , \(\displaystyle{ !100}\) ? ; przy czym \(\displaystyle{ !100=1^1 \ 2^2 \ ... \ 100^{100}}\),
16. rozwiązane przez Qnia
Majac dane
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^5y^3z^5 = 1 \\ xyz^{2}=2 \\x^{18}y^{11}z^{20}=3 \end{cases}}\)
obliczyć \(\displaystyle{ xyz}\)
17. rozwiązane przez Qnia
Rozwiązać to równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{NWD \left( a, b \right) } + \frac{1}{NWW \left( a, b \right) } =\frac{1}{2}}\)
gdy \(\displaystyle{ a, b \in N}\)
18. rozwiązane przez Qnia i Elayne
Zadanie Lewisa Carolla
Wyznaczyć trzy trójkąty pitagorejskie o równym polu
Uwagi: Trójkąt pitagorejski to taki, który jest prostokątny a długości jego boków są liczbami naturalnymi
19. Udowodnić Twierdzenie o liczbach trójkątnych: E Lionett :
Każda liczba naturalna jest sumą kwadratu (liczby całkowitej) i dwóch bądź mniej liczb trójkątnych;
Wskazać liczbę, która nie jest sumą kwadratu (liczby całkowitej) i liczby trójkątnej.
W.S.
20. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie \(\displaystyle{ 101}\) elementowym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ S= \left\{ 1, ..., 10^6 \right\}}\). Udowodnić, że istnieją \(\displaystyle{ t_1, ..., t_{100} \in S}\) takie, że gdy \(\displaystyle{ A_j = \left\{ x+ t_j \ x \in A \right\}}\) dla \(\displaystyle{ j=1, ..., 100}\) to \(\displaystyle{ A_i \cap A_j = \emptyset}\) gdy \(\displaystyle{ i \neq j}\)
21. Czy istnieje \(\displaystyle{ n}\) które wspak jest równe \(\displaystyle{ 3n}\) ?
22. rozwiązane przez fon_nojmana
Znaleźć taki wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W \left( 1 \right) =1 \\ W \left( 2 \right) =3 \\ W \left( 3 \right) =15 \end{cases}}\)
który ma najmniejszą sumę wartości bezwzględnych swoich współczynników.
Czy odpowiedz będzie inna dla wielomianów o współczynnikach rzeczywistych ?
23. rozwiązane przez fon_nojmana i Qnia
Która z tych liczb jest największa a która najmniejsza: \(\displaystyle{ 99^{101}}\) , \(\displaystyle{ 100^{100}}\) , \(\displaystyle{ 101^{99}}\) ?
24. Na ile sposobów można umieścić 30 osób w trzech pokojach, jeśli żaden pokój nie może być pusty ?
25. Liczby naturalne pomalowano na biało bądź czarno. Suma dowolnych dwóch liczb różnokolorowych jest czarna, a ich iloczyn biały. Jakiego koloru jest iloczyn dwóch liczb białych ?
Wyznaczyć wszystkie takie pokolorowania.
26. Wykaż lub obal: Na spotkaniu jest 500 matematyków, z których każda zna dokładnie 400 innych. Wtedy istnieje klika 6-osobowa (tj. grupa sześciu osób w której każdy zna się z każdym).
27. rozwiązane przez AndrzejK
Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{x-5}{x+2}} +\sqrt{\frac{x-4}{x+3}} - \frac{7}{x+2} \sqrt{\frac{x+2}{x+3}}=0}\)
28. rozwiązane przez yorgina
Udowodnić że jest \(\displaystyle{ 2F_{n+1}}\) wszystkich słów długości \(\displaystyle{ n}\) nad alfabetem \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1 \right\}}\), w których nie ma sekwencji trzech zer, ani trzech jedynek; (zaś \(\displaystyle{ F_n}\) to ciąg Fibonacciego)
29. rozwiązane przez yorgina i a4karo
Czy na płaszczyźnie istnieje skończona ilość parabol, takich że dowolny punkt tej płaszczyzny jest we wnętrzu jednej z nich ?
Uwagi: Wnętrze paraboli to figura wypukła, której brzegiem jest ta parabola.
30. rozwiązane przez Qnia
Uprościć to wyrażenie:
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}} - \frac{ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}} \right) : \left( \frac{8}{ \left( \frac{x+y}{x-y}+ \frac{x-y}{x+y} \right) \left( \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} -2 \right) } \right)}\)