Równania różniczkowe jednorodne.

[BeHappy]

Jak w ogóle to ruszyć?

\(\displaystyle{ xdy-ydx=\sqrt{x^{2}+y^{2}} dx}\) ??

Przy takich podstawieniach:

\(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\)

\(\displaystyle{ y^{'}=u^{'}x+u}\)

-- 25 mar 2015, o 14:03 --

Trochę to szarpnąłem:P

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}dx}\)

Ale teraz też nie wiem jak dalej.

[kerajs]

\(\displaystyle{ xdy-ydx=\sqrt{x^{2}+y^{2}} dx}\)

\(\displaystyle{ x \mbox{d}y=(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x}= \frac{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x}= \sqrt{1+\frac{y^{2}}{x^2}}+ \frac{ y}{x}}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ u= \frac{y}{x} \Rightarrow y=ux \Rightarrow \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x}x+u}\)
daje równanie o zmiennych rozdzielonych:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x}x+u= \sqrt{1+u^2}+ u}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}x}x= \sqrt{1+u^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\mbox{d}u= \frac{1}{x}\mbox{d}x}\)
Potrafisz dalej?.

[BeHappy]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\mbox{d}u= \frac{1}{x}\mbox{d}x}\)
Potrafisz dalej?.

Jaką metodą obliczyć tą całkę?

\(\displaystyle{ \int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}}\) -> Czy to jeden z wzorów elementarnych xD?

Tzn. chodzi mi o ten (sorki, ale sporo pozapominałem po długiej przerwie od egzaminów):

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+q}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}+q}|}\)

Chociaż odpowiedź mam, że:

\(\displaystyle{ y=x\arcsin cx}\) - więc jak to kurcze w końcu jest:D?



Mógłbyś napisać co się stało, że wykładowca otrzymał takie przekształcenie?

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}} |:x^{2} \rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{2x}{y}}{1-\frac{y^{2}}{x^{2}}}}\)

Jak dla mnie powinno wyjść tak:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy \cdot x^{2}}{1-\frac{y^{2}}{x^{2}}}}\)

[sardom]

Taką całkę, najłatwiej chyba przez podstawienie \(\displaystyle{ u=cosh(t)}\). Nie trzeba pamiętać tych wzorów, a jedynie co podstawić. Później korzystasz z jedynki hyperbolicznej i powinno wyjść.

[BeHappy]

Taką całkę, najłatwiej chyba przez podstawienie \(\displaystyle{ u=cosh(t)}\). Nie trzeba pamiętać tych wzorów, a jedynie co podstawić. Później korzystasz z jedynki hyperbolicznej i powinno wyjść.

Ale ta całka jest równa temu co podaje wzór czy nie? Jeśli tak to czemu w odpowiedziach mam:

\(\displaystyle{ y=x\arcsin cx}\) ?? - \(\displaystyle{ \ln}\) taki jaki by wyszedł z tej całki można by przekształcić do tej postaci?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\mbox{d}u= ..}\)
Jaką metodą obliczyć tę całkę?
\(\displaystyle{ \int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}}\) -> Czy to jeden z wzorów elementarnych xD?
Tzn. chodzi mi o ten (sorki, ale sporo pozapominałem po długiej przerwie od egzaminów):
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+q}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}+q}|}\).

Nie jest to wzór elementarny, ale warto go znać. I on błyskawicznie rozwiązuje tę całkę.
Pomysł kolegi sardom też rozwiązuje całkę, jednak powrót do zmiennej \(\displaystyle{ u}\) niektórym studentom może sprawić kłopot.

Ale wracając do równania:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\mbox{d}u= \int_{}^{} \frac{1}{x}\mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \ln \left| u+ \sqrt{u^2+1} \right|=\ln \left| x \right| +C}\)
\(\displaystyle{ u+ \sqrt{u^2+1} =Cx}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{u^2+1} =Cx-u}\)
\(\displaystyle{ 1=(Cx)^2-2Cxu}\)
\(\displaystyle{ 1=(Cx)^2-2Cx \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{(Cx)^2-1}{2C}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{C}{2}x^2- \frac{1}{2C}}\)

Chociaż odpowiedź mam, że:
\(\displaystyle{ y=x\arcsin cx}\) - więc jak to kurcze w końcu jest:D?

Możesz sam sprawdzić czy to prawidłowa odpowiedź wstawiając do równania wyrażenia:
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} =\arcsin cx \wedge \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } =\arcsin cx+ \frac{Cx}{ \sqrt{1-(Cx)^2} }}\)

Mógłbyś napisać co się stało, że wykładowca otrzymał takie przekształcenie?
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}} |:x^{2} \rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{2x}{y}}{1-\frac{y^{2}}{x^{2}}}}\)
Jak dla mnie powinno wyjść tak:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy \cdot x^{2}}{1-\frac{y^{2}}{x^{2}}}}\)

Przypuszczam , że wyglądało to tak:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy }{x^{2}-y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy \ \ \ |:x^{2}}{x^{2}-y^{2} \ |:x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2\frac{y}{x} }{1-(\frac{y}{x})^{2}}}\)

[BeHappy]

Mógłbyś napisać co się stało, że wykładowca otrzymał takie przekształcenie?
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}} |:x^{2} \rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{2x}{y}}{1-\frac{y^{2}}{x^{2}}}}\)
Jak dla mnie powinno wyjść tak:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy \cdot x^{2}}{1-\frac{y^{2}}{x^{2}}}}\)

Przypuszczam , że wyglądało to tak:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy }{x^{2}-y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2xy \ \ \ |:x^{2}}{x^{2}-y^{2} \ |:x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{2\frac{y}{x} }{1-(\frac{y}{x})^{2}}}\)

A jakoś dodatkowo trzeba zapisywać, że dzieli się tylko prawą stronę i można tak w równaniu:D? Chociaż to właściwie jak skracanie ułamka.

[kerajs]

Ale to nie jest dzielenie równania stronami, ale tylko rozszerzanie ułamka \(\displaystyle{ \frac{2xy }{x^{2}-y^{2} }}\).
Można je zapisać tak:
\(\displaystyle{ \frac{2xy }{x^{2}-y^{2} } \cdot \frac{ \frac{1}{x^2} }{ \frac{1}{x^2}}\ \ \ ,}\)
a inny nauczyciel powie ,,licznik i mianownik dzielimy przez x do kwadratu' i od razu napisze:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{2xy}{x^2} }{ \frac{x^{2}-y^{2}}{x^2}} \ \ \ .}\)
Twój prowadzący poprzednie stwierdzenie wyraża taką konwencją zapisu:
\(\displaystyle{ \frac{2xy \ \ \ |:x^{2}}{x^{2}-y^{2} \ |:x^{2}}}\)