Matematyka.pl

Witam wszystkich, proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (n+1)! \cdot x}\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x}{(1+x)^{2n}}}\)

(a) jeśli ma być tak, jak napisałeś, to tylko dla \(\displaystyle{ x=0}\). Dla innych iksów nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności.
(b) tu zależy, czy \(\displaystyle{ x}\) rzeczywiste, czy zespolone, ale na pewno \(\displaystyle{ x \neq 0, x\neq -1}\). Dla zespolonych na pewno będzie zbieżny bezwzględnie z kryterium Cauchy'ego gdy \(\displaystyle{ \left| x+1\right| >1}\)

w b) oczywiście szereg będzie zbieżny również dla \(\displaystyle{ x=0}\)

Tylko w zbiorze liczb rzeczywistych dzialamy, mozna to pokazac z jakiegos kryterium bo chyba o to chodzi w tym zadaniu.

Którekolwiek kryterium jest dobre (Cauchy, d'Alembert)

W pierwszym z d'Alemberta mam:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{ (n+2)! \cdot x^{n+1}}{(n+1)!\cdot x^{n}} = \lim_{ n \to \infty } (n+2)x}\) Co dalej mam z tym zrobić żeby rozwiązać to zadanie?

Nie możesz używać tak sobie d'Alemberta, jeśli nie wiesz, jakie są znaki wyrazów, więc trochę niedobrze (bo \(\displaystyle{ x}\) może być ujemny).
Za pomocą kryterium d'Alemberta możesz badać zbieżność bezwzględną, czyli w tym wypadku otrzymałbyś
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (n+2)\left| x\right|}\) - no to chyba wiesz, ile to wynosi, gdy \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą różną od zera? No a oczywiście \(\displaystyle{ \infty>1}\)

Czyli w tym przypadku będzie dla \(\displaystyle{ x = 0}\) tak jak pisałeś wcześniej tak?

Tak.

Mam jeszcze pytanie odnośnie pierwszego przykładu, dlaczego wartość w nawiasie nie jest w wartości bezwzględnej tak jak x?
W tym drugim korzystam z kryterium Cauchy'ego i mam:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{x}{(1+x)^{2n}} \right| } = \lim_{n \to \infty } \frac{ 1 }{\left| (1+x)^{2}\right| }}\)
Czy w tym drugim szereg będzie zbieżny dla każdego \(\displaystyle{ x}\), oprócz \(\displaystyle{ x = -1}\)?

Odnośnie wartości bezwzględnej: zwróć uwagę, że \(\displaystyle{ (n+1)!>0}\), bo to iloczyn liczb naturalnych.
Co do tego drugiego, z kryterium Cauchy'ego masz zbieżność, gdy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ 1 }{\left| (1+x)^{2}\right| }<1}\), czyli gdy \(\displaystyle{ \frac{ 1 }{\left| (1+x)^{2}\right| }<1}\). Więc nie tak, jak piszesz. Trzeba jeszcze zbadać, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ \frac{ 1 }{\left| (1+x)^{2}\right| }=1}\).

Po obliczeniu tego wyrażenia wyszło mi, że gdy x = 0 wtedy szereg jest rozbieżny, więc odpowiedź brzmi:
szereg jest zbieżny dla \(\displaystyle{ x \in R - \{-1,0\}}\) dobrze?

suvak pisze:Po obliczeniu tego wyrażenia wyszło mi, że gdy x = 0 wtedy szereg jest rozbieżny, więc odpowiedź brzmi:
szereg jest zbieżny dla \(\displaystyle{ x \in R - \{-1,0\}}\) dobrze?

??? Każdy wyraz szeregu jest równy \(\displaystyle{ 0}\)

Nie rozumiem... możesz jakoś pomóc co zrobiłem źle?

Of początku. O którym przykładzie mówimy? O b)
Dla \(\displaystyle{ x=0}\) wszystkie wyrazy są równe zero. W a) jest tak samo.

Pokaż obliczenia, bez tego ciężko stwierdzić ci jest nie tak.