Matematyka.pl

Wyznaczyc ekstremum lokalne funkcjii

a)
\(\displaystyle{ f(x,y)= x^{3}+y^{2}-6xy - 39x + 18y + 20}\)


b)
\(\displaystyle{ y^{3}- 3xy^{2}+6xy-3x^{2}+15x-15y}\)

Oblicz macierz pierwszej pochodnej (macierz Jacobiego) obu funkcji:

\(\displaystyle{ MJ_f = ft[ \begin{array}{cc} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \end{array}\right]}\)

Funkcje są wielomianami klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty}}\), czyli poza punktami stacjonarnymi nie ma innych punktów podejrzanych o istnienie ekstremum. Porównaj następnie obliczone pochodne cząstkowe do zer (obie muszą się zerować jednocześnie) i oblicz współrzędne punktów, w których to nastpuje.

Następnie możesz obliczyć dodatkowo hesjan (macierz drugiej pochodnej), aby zbadać, czy ekstremum to lokalne minimum, czy maksimum (badając określoność takiej macierzy):

\(\displaystyle{ H=\left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial ^2 f}{\partial y x} \\ \frac{\partial ^2 f}{\partial x y} & \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} \end{array} \right]}\)