Matematyka.pl

Do windy na parterze budynku wysiadło 8 osób, po czym każda z nich w sposób losowy wysiadła na jednym z pięciu pięter budynku. Jakie jest prawdopodobieństwo , że na jednym z pięter wysiadło co najmniej 6 osób ?

\(\displaystyle{ O=5 ^{8}}\)

A zdarzenie jak będą ?
Na jednym z pięter wysiada \(\displaystyle{ 6}\) osób. Zakładając że na pierwszym piętrze wysiądzie \(\displaystyle{ 6}\) to na kolejnych muszę rozlosować 2 osoby. Czyli \(\displaystyle{ 6 \cdot {4 \choose 2}}\) i to jeszcze razy ilość pięter. Potem zakładam że na pierwszym wysiądzie 7. Czyli \(\displaystyle{ 7 \cdot {4 \choose 1}}\) i to jeszcze razy ilość pięter. Potem zakładam że na pierwszym piętrze wysiądzie 8 osób czyli 8 razy ilość piętr.
Otrzymam poprawny wynik czy źle ?

Przemyśl to jeszcze raz i pomyśl o permutacjach z powtórzeniami. Wychodzi Ci dużo za mało.

Wolałbym to zrobić bez używania permutacji. Jakbym znał wynik to mógłbym pokombinować ale nie znam .
W przypadku gdy wysiada 8 osób albo 7 na jednym piętrze to łącznie wychodzi mi 180 możliwości.
Jak wysiada 6 osób to teraz po przemyśleniu wyszło mi 480.

To może przełam się do permutacji, bo oba te wyniki masz źle.

Żeby korzystać najpierw trzeba wiedzieć jak.

1. Na jednym piętrze wysiada 6 osób. Wariacje bez powtórzeń \(\displaystyle{ {8 \choose 6}}\) . 4 przypadki gdy osoby wysiadają razem na tym samym piętrze i 12 przypadków gdy osoby wysiadają pojedynczo :
1100
1010
1001
0110
0101
0011

1 oznacza osobę 0 brak osoby. Osoby są różne więc 6 razy 2 czyli mamy te 12 przypadków.

Przemnożymy
\(\displaystyle{ {8 \choose 6} \cdot 16 \cdot 5 =2240}\)

2. Na jednym piętrze wysiada 7 osób.
\(\displaystyle{ {8 \choose 7} \cdot 5 \cdot 4 = 160}\)

3. Na jednym piętrze wysiada 8 osób :
5 możliwości

Łącznie \(\displaystyle{ 2405}\) .

Dalej źle... ?

Jest dobrze.
Te \(\displaystyle{ 16}\) rozpisanych przypadków możesz zapisać jako \(\displaystyle{ 4^2}\)

Poza tym \(\displaystyle{ {8 \choose 6}}\)to nie są wariacje bez powtórzeń.

Teraz jest dobrze.
Napisałeś: Żeby korzystać z permutacji, najpierw trzeba wiedzieć jak.
To proste:
\(\displaystyle{ P _{8} ^{6}}\) - permutacje 8-elementowe z powtórzeniami, w których jeden element powtarza się 6 razy, co jest równe \(\displaystyle{ \frac{8!}{6!}}\).
\(\displaystyle{ P _{8} ^{6,2}}\) - permutacje 8-elementowe z powtórzeniami, w których jeden element powtarza się 6 razy, a jeden element 2 razy, co jest równe \(\displaystyle{ \frac{8!}{6! \cdot 2!}}\).
Na przykład z liter MAMA, otrzymamy 6 permutacji: \(\displaystyle{ P _{4} ^{2,2}=\frac{4!}{2! \cdot 2!}}\)
Z liter OKNO, otrzymamy 12 permutacji: \(\displaystyle{ P _{4} ^{2}=\frac{4!}{2!}}\)