Izomorfizm przestrzeni

[nowyyyy4]

Jak udowodnić, że przestrzenie \(\displaystyle{ \left( \mathbb{K}^N , || \cdot ||_{N,p} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( \mathbb{K}^N , || \cdot ||_{N,q} \right)}\) są izomorficzne
\(\displaystyle{ \mathbb{K} \in \left\{ \mathbb{R} , \mathbb{C}\right\}}\)

a \(\displaystyle{ ||a||_{N,p} = \left( \sum_{n=1}^{N} |a_n|^p \right)^{\frac{1}{p}}}\)

Nie wiem jakim wzorem zadać ten izomrofizm

[Kartezjusz]

Czemu wyznaczać. Mówi Ci coś TW Riesza?

[Spektralny]

Czemu wyznaczać. Mówi Ci coś TW Riesza?

Serio chcesz tutaj używać twierdzenia Riesza? Jeśli tak, to jak?

Niech \(\displaystyle{ 1\leqslant p<q\leqslant \infty.}\) Wówczas

\(\displaystyle{ \|x\|_{N,p}\geqslant \|x\|_{N,q}.}\)

Potrzebujemy teraz takiej stałej \(\displaystyle{ \delta>0}\), że

\(\displaystyle{ \|x\|_{N,p}\leqslant \delta\|x\|_{N,q}.}\)

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ r}\) wykładnik sprzężony do \(\displaystyle{ q/p}\). Zastosujmy teraz nierówność Höldera z wykładnikiem \(\displaystyle{ q/p}\) do \(\displaystyle{ u=(|x_1|^p, \ldots, |x_N|^{p})}\) i \(\displaystyle{ v=(1,\ldots, 1)}\). Mamy

\(\displaystyle{ \|x\|_{N,p}^p = \|uv\|_{N, 1} \leqslant \Big(\sum_{k=1}^N |x_k|^q\Big)^{p/q} \cdot N^{1/r}}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \|x\|_{N,p} \leqslant \|x\|_{N,q} \cdot N^{1/{pr}}}\).

Stała \(\displaystyle{ N^{1/{pr}}}\), którą tutaj otrzymaliśmy jest optymalna.

[nowyyyy4]

A z jakiego twierdzenia wynika, że równoważność norm pociąga, że przestrzenie są izomorficzne?

[Spektralny]

Wynika to z faktu, że te same ciągi są zbieżne do 0. W zasadzie to wynika to z twierdzenia o trzech ciągach zatem.