Z tego co widziałem to różni autorzy różnie definiują formy różniczkowe: Musielak i Skrzypczak w swojej analizie matematycznej definiują formy różniczkowe jako antysymetryczne tensory kowariantne, natomiast Górniewicz i Ingarden jako funkcje, które punktom przyporządkowują tensory. Dziwne. To co Górniewicz i Ingarden nazywają formami różniczkowymi, ja bym raczej nazwał polem form różniczkowych.AiDi pisze:Swoją drogą to ja bym rozróżniał formy (tensory) od form różniczkowych (pól tensorowych), pierwsze to działka algebry, drugie - geometrii różniczkowej
Tensor to funkcja. Np. w przypadku tensora dwukrotnie kowariantnego tensor \(\displaystyle{ T}\) to funkcja: \(\displaystyle{ T: \ V \times V \rightarrow K}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) to przestrzeń liniowa nad ciałem skalarów \(\displaystyle{ K}\), taka że \(\displaystyle{ T(\cdot, \ v)}\), \(\displaystyle{ T(v,\ \cdot)}\) (ustaliłem jedną zmienną) są przekształceniami liniowymi. Tensory, to funkcje, które wektorom przyporządkowują liczby. Tensory same też tworzą przestrzeń liniową, więc można mówić o ich współrzędnych w bazie. Ponieważ tensor w danej bazie całkowicie wyznaczają jego współrzędne, to często tensory utożsamia się z ich współrzędnymi (fizycy bardzo często nazywają tensorami ich współrzędne). Jak tensor przyjmuje tylko dwie zmienne, to współrzędne można ułożyć w macierz, stąd to nieporozumienie.hubble pisze:Czyli jeśli mamy taką formę różniczkową:\(\displaystyle{ \omega_{1} = f(x) dx + g(y) dy + h(z) dz}\) to jaka jest macierz tego tensoru (bo tensor to macierz)?
Wyrażenia: funkcjonał liniowy, forma liniowa, (jedno)tensor to synonimy. Forma różniczkowa jest pewną szczególną formą liniową, ale nie każda forma liniowa to forma różniczkowa.hubble pisze:Czy forma różniczkowa jest formą linową? Nie każda forma liniowa jest formą różniczkową?
To mi wygląda na tensor kontrawariantny. Kowariantny by był wówczas, gdzy V to przestrzeń dualna(sprzężona).PLrc pisze:
Tensor to funkcja. Np. w przypadku tensora dwukrotnie kowariantnego tensor \(\displaystyle{ T}\) to funkcja: \(\displaystyle{ T: \ V \times V \rightarrow K}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) to przestrzeń liniowa nad ciałem skalarów \(\displaystyle{ K}\)
Formy różniczkowe=pola form=cięcia wiązki kostycznej lub jej zewnętrznej potęgi, czyli tak jak definiuje Ingarden. Tak obecnie się to definiuje i tak się standardowo naucza. "Różniczkowa" odnosi się do rozmaitości różniczkowej.PLrc pisze:To co Górniewicz i Ingarden nazywają formami różniczkowymi, ja bym raczej nazwał polem form różniczkowych.
Standardów trzeba szukać w książkach z geometrii różniczkowej Na analizie dużo rzeczy się utożsamia ze sobą.w swojej analizie matematycznej
Nie, jest kowariantny, dwukrotnie. "Wyrazy macierzowe" miałyby indeksy dolne.hubble pisze: To mi wygląda na tensor kontrawariantny.
\(\displaystyle{ dx=[1,0,0]}\), itd, jak to zwykle dla bazy dualnej.Tensor można przedstawić jako macierz. Więc jakie są macierze tych form różniczkowych?
Dobra, to będę się tego trzymał:AiDi pisze:Formy różniczkowe=pola form=cięcia wiązki kostycznej lub jej zewnętrznej potęgi, czyli tak jak definiuje Ingarden.
Pomyślmy. Jeżeli to jest forma różniczkowa na podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ U \subset \mathbb{R}^n}\), to wtedy \(\displaystyle{ \omega(x,\ y,\ z)}\) przyjmuje jako argumenty wektory z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). Macierz formy dwuliniowej \(\displaystyle{ F}\) w bazie uporządkowanej \(\displaystyle{ (e_i)_{i=1}^n}\) to macierz \(\displaystyle{ (F(e_i,\ e_j))_{i,\ j=1}^n}\) W tym wypadku to będzie macierz \(\displaystyle{ (\omega(x,\ y,\ z)(e_i, e_j))_{i,\ j=1}^3}\), \(\displaystyle{ e_1=(1,0,0), \ e_2=(0,1,0), \ e_3=(0,0,1)}\)hubble pisze:No dobra. A dla takiej \(\displaystyle{ \omega_{2} = f(x) dy \wedge dz + g(y) dz \wedge dx + h(z) dx \wedge dy}\) formy jak będzie wyglądać macierz?
Chyba chciałeś spytać, czy da się przerobić zamieniając dziedzinę na iloczyn przestrzeni dualnych: \(\displaystyle{ T:\ V^*\times V^* \rightarrow K}\) Jak mamy pole tensora metrycznego, to możemy "przerabiać" tensory kowariantne na kontrawariantne i odwrotnie. Możesz o tym poczytać tu:hubble pisze:Da się ten tensor \(\displaystyle{ T: \ V \times V \rightarrow K}\) "przerobić" na dwukrotnie kontrawariantny przez zmianę argumentów na przestrzenie dualne?
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Izomorfizm_muzyczny