Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{n-1}{n!}}\)

Szukam jakiegos "sprytnego" rozwiazania, gdyz jest to nasze pierwsze zadanie z szeregow wiec sadze ze nie mozna uzywac skomplikowanego aparatu matematycznego

rozbij na dwa szeregi, dwie prosty sumą zostaną

Jakas wskazowka co do rozbicia?

na roznice rozbij

Got it, macie moze jeszcze jakas wskazowke na sprytne rozwiazanie do:

\(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{n}{2^n}}\)

Wskazówka, zmień kolejność sumowania.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^n}}\)

Nie rozumiem skad to sie wzielo i jak z tego skorzystac

Stąd, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{n}} = \frac{n}{2^{n}}}\)

Inny sposób: gdy \(\displaystyle{ \left| x\right| <1}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } nx^{n}=x \sum_{n=1}^{ \infty }nx^{n-1}=x \sum_{ n=1}^{ \infty }(x^{n})'=x \left(\sum_{ n=1}^{ \infty }x^{n}\right)'}\)
Przedstawiasz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x^{n}}\) w zwartej postaci (jest to suma szeregu geometrycznego), różniczkujesz tę zwartą postać, mnożysz przez \(\displaystyle{ x}\) i podstawiasz \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\).
Tu trzeba wiedzieć, że szeregi potęgowe wewnątrz promienia zbieżności możemy różniczkować wyraz po wyrazie.

Dzieki za odpowiedzi. Rozumiem skad sie wziela ta zmiana kolejnosci sumowania, ale chcac wykorzystac ten sposob, co dalej?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^n}=\sum_{k=1}^n\sum_{n=k}^\infty \frac{1}{2^n}}\)
I obliczasz ze wzorów na sumę ciągu geometrycznego.

Też mam problem z pierwszym przykładem i rozpisałem tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty \frac{n-1}{n!}= \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-1)!}-\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n!}}\)
Niestety nie wiem co dalej, czytałem gdzieś w internecie o jakimś wzorze z liczbą e ale nie wiem jak z niego skorzystać. Pomoże ktoś?

Jeżeli \(\displaystyle{ e = \sum_{n=0}^{\infty} 1/n!}\), to \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty 1/n! = e - 1/0! - 1/1! = e -2}\). Podobnie drugi składnik.