Matematyka.pl

Witam, czy ktoś może mi powiedzieć jak rozwiązać tego typu równanie, bo raczej w przedziałach to by się to trudno robiło

\(\displaystyle{ \left| \frac{x+1}{x-1} \right| - \left| \frac{x-1}{x+1} \right| = 0}\)

Jedna z wartości na drugą stronę równania i \(\displaystyle{ \left| a\right|=\left| b\right| \Rightarrow a=b \vee a=-b}\)

Spójnik chyba powinien być \(\displaystyle{ \wedge}\) i próbowałem tak robić ale co jak mi w jednym wyjdzie 0=0 ,a w drugim sprzeczność to jaka to będzie odpowiedź? zbiór pusty?

Nie, spójnikiem powinno być \(\displaystyle{ \vee}\) gdyby było \(\displaystyle{ \wedge}\)to jedynymi liczbami spełniającymi tą koniunkcję byłyby 2 zera. Rozwiązujesz osobno te 2 przypadki i bierzesz sumę ich rozwiązań.

Poczekam jeszcze na jakąś inną odpowiedź

\(\displaystyle{ \left| \frac{x+1}{x-1} \right| - \left| \frac{x-1}{x+1} \right| = 0}\)

\(\displaystyle{ \left| \frac{x+1}{x-1} \right| = \left| \frac{x-1}{x+1} \right|\\

\left| (x+1)(x+1) \right| = \left| (x-1)(x-1) \right|\\
\left| (x+1)^{2} \right| = \left| (x-1)^{2} \right|}\)

Powyższa równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=0}\)

Wynik się zgodził przypadkiem. Ale poprawne rozumowanie pokazuje Asapi. Z tego rozumowania wynika też, że w przedostatnim wierszu tego co wyżej, wewnątrz modułów mamy to samo, albo liczby przeciwne.
Jak nie wierzysz, to rozwiąż np. równanie:
\(\displaystyle{ \left| \frac{x-1}{x} \right|-\left| \frac{2}{1} \right|=0}\),
czyli: \(\displaystyle{ \left| \frac{x-1}{x} \right|=\left| \frac{2}{1} \right|}\)

szachimat pisze:Wynik się zgodził przypadkiem.

Jakim przypadkiem? Przecież tam jest normalne rozwiązanie, choć może ciut skrótowo zapisane.

szachimat pisze:Z tego rozumowania wynika też, że w przedostatnim wierszu tego co wyżej, wewnątrz modułów mamy to samo, albo liczby przeciwne.

Ta uwaga jest zupełnie nieprzydatna, bo w przedostatniej linijce możemy po prostu opuścić moduły, jako że wyrażenia pod modułami są nieujemne.

JK

W przedostatniej linijce możemy po prostu opuścić moduły, jako że wyrażenia pod modułami są nieujemne.
I stąd moje stwierdzenie "Wynik się zgodził przypadkiem. Ale poprawne rozumowanie pokazuje Asapi"
Ogólnie musimy brać pod uwagę \(\displaystyle{ \left| a\right|=\left| b\right| \Rightarrow a=b \vee a=-b}\).

Zamiast tak kombinować wystarczy zauważyć, że (z uwględnieniem dziedziny) znaki wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi są takie same (bo to są wzajemne odwrotności), zatem w równaniu można po prostu opuścić wartości bezwzględne.

szachimat pisze:I stąd moje stwierdzenie "Wynik się zgodził przypadkiem. Ale poprawne rozumowanie pokazuje Asapi"

Które może wprowadzać w błąd, bo sugeruje niepoprawność rozwiązania. Ten wynik nie "zgodził się przypadkiem", tylko został otrzymany w poprawnym rozumowaniu. Żadnych przypadków tam nie było.

szachimat pisze:Ogólnie musimy brać pod uwagę \(\displaystyle{ \left| a\right|=\left| b\right| \Rightarrow a=b \vee a=-b}\).

To zależy od zadania. To jest oczywiście dobra metoda, ale niekoniecznie jedyna.

JK

Czyli potwierdza się fakt, że musimy w matematyce być bardzo precyzyjni w sformułowaniach, ale i tak często coś przeoczymy, na co ktoś inny zwróci uwagę. Fajnie, że dzięki temu forum potrafimy rozwiać wszelkie wątpliwości (o ile nie jest to bezczelne wytykanie błędów wszystkim tym, którzy próbują w miarę możliwości pomóc).

Szach i Mat