Matematyka.pl

wykazać, że rownanie:
\(\displaystyle{ ln(xy) + y^{2} + \sin\pi x = 1}\)
określa w otoczeniu punktu (1,1) rosnącą funkcje y=y(x)

Skorzystaj z tw o istnieniu funkcji uwikłanej, tzn:

Jeśli spełnione są następujące założenia:
1. Funkcja \(\displaystyle{ F(x, y)}\) jest określona i ciągła w prostokącie:
\(\displaystyle{ \mathcal{D} = [x - \Delta, x + \Delta;\; y - \Delta', y + \Delta']}\)
o środku w punkcie \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0})}\)
2. Pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ F'_{x}, F'_{y}}\) istnieją i są ciągłe w \(\displaystyle{ \mathcal{D}}\)
3. \(\displaystyle{ F(x_{0}, y_{0}) = 0}\)
4. \(\displaystyle{ F'_{y}(x_{0}, y_{0}) \neq 0}\)
to pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0})}\) równanie:
\(\displaystyle{ F(x, y) = 0}\)
opisuje różniczkowalną funkcję \(\displaystyle{ y = y(x)}\), przy czym \(\displaystyle{ y(x_{0}) = y_{0}}\)

Dalej korzystasz z tego, że:
\(\displaystyle{ y'(x) = -\frac{F'_{x}(x, y)}{F'_{y}(x, y)}}\)
i pokazujesz, że w bliskim otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (-1, 1)}\) jest \(\displaystyle{ y'(x) > 0}\)

mogłbyś to rozpisać??

Co do pierwszego punktu nie ma problemu - w otoczeniu jedynki funkcja uwikłana jest ciągła i różniczkowalna - wyjątek stanowi logarytm, który nie ma tej cechy, gdy któraś ze zmiennych jest równa zero, ale pewne otoczenie znaleźć można zawsze. Tak samo punkt drugi - istnienie i ciągłość pochodnych. Punkt trzeci też jest spełniony - wszak \(\displaystyle{ F(1,1)=ln1-\sin\pi +1-1=0-0+1-1=0}\). Punkt czwarty tak samo:

\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{1}{y}+2y+\pi \cos\pi x \\ \frac{\partial F}{\partial y}(1,1)=\frac{1}{1}+2-\pi =3-\pi 0}\)

Stąd taka funkcja istnieje i możesz obliczyć jej pochodną wg podanego przez maxa wzoru.

czy jak różniczkujemy ten logarytm naturalny po y to nie powinno byc \(\displaystyle{ \frac{1}{xy}}\) ??

Nie - zapomniałaś o pochodnej funkcji wewnętrznej:
\(\displaystyle{ (\ln xy)'_{y} = (xy)'_{y}\cdot \frac{1}{xy} = \frac{x}{xy} = \frac{1}{y}}\)