Matematyka.pl

Rozważmy relację \(\displaystyle{ \left( m,k\right) \in \left[ \NN \setminus \left\{ 0\right\} \right] ^{2}, \left( m,k\right) \in f \Leftrightarrow \left( m=k=1 \vee k=\min \left\{ l \in \NN \setminus \left\{ 0\right\} :1<l \le m \wedge m|k\right\}\right)}\). Jeśli tak, sprawdzić, czy jest różnowartościowa i surjektywna na \(\displaystyle{ \NN \setminus \left\{ 0\right\}}\). Wyznaczyć obraz zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 2,6,9\right\}}\) i przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 2\right\}}\).

Zastanówmy się, co należy do tego zbioru. Z pewnością para \(\displaystyle{ (1,1)}\). Oprócz tego pary \(\displaystyle{ (m,k) = (m, \min A_m^k)}\), gdzie \(\displaystyle{ A_m^k}\) jest zbiorem z definicji. Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ m \ge 2}\). Wtedy najmniejszym elementem zbioru \(\displaystyle{ A_m^k}\) będzie dwa, o ile \(\displaystyle{ m}\) dzieli dwa (\(\displaystyle{ = k}\)) - a zatem oprócz pary \(\displaystyle{ (1,1)}\) mamy parę \(\displaystyle{ (2,2)}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ m = 1}\), to zbiór po prawej jest pusty (przez \(\displaystyle{ 1 < l \le 1}\)) i nie za bardzo wiem, co może być jego minimum.

Już doszłam do tego. Jeśli \(\displaystyle{ m=1}\) to bierzemy definicję ze zbioru po lewej stronie. Dla pozostałych bierzemy definicję po prawej

Fragment definicji \(\displaystyle{ k=\min \left\{ l \in \NN \setminus \left\{ 0\right\} :1<l \le m \wedge m|k\right\}}\) jest niepoprawny, bo definiuje \(\displaystyle{ k}\) przez \(\displaystyle{ k}\) (i prawie w ogóle nie wykorzystuje \(\displaystyle{ l}\)).

JK

Zadanie jest żywcem wzięte z kolokwium.

Nawet jeżeli umówimy się, że to nie jest definicja, ale coś, co po prostu może być prawdziwe lub nie, to zadanie dalej jest bez sensu. Dalsze podpunkty sugerują, że to będzie funkcja, ale z mojego rozumowania wynika, że jej dziedziną może być co najwyżej \(\displaystyle{ \{1,2\}}\). Jak inne osoby rozwiązały to zadanie?

Magda0601 pisze:Zadanie jest żywcem wzięte z kolokwium.

Jeżeli tak istotnie jest, to źle to świadczy o osobie układającej kolokwium. Oczywiście, pomyłki się zdarzają, ale takie zadanie nadaje się tylko do anulowania.

Medea 2 pisze:Nawet jeżeli umówimy się, że to nie jest definicja, ale coś, co po prostu może być prawdziwe lub nie

Nie bardzo jest się na co umawiać, gdy masz niepoprawny formalnie zapis.

JK

Ale dlaczego? Przecież równość

\(\displaystyle{ k=\min \left\{ l \in \NN \setminus \left\{ 0\right\} :1<l \le m \wedge m|k\right\}}\)

jest formułą logiczną zmiennych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ k.}\)

No... tym razem Dasio11 (i Medea2) mają rację: zapis jest formalnie poprawny i definiuje funkcję \(\displaystyle{ f=\{\langle 1,1\rangle,\langle 2,2\rangle\}}\).

Jan Kraszewski pisze:Fragment definicji \(\displaystyle{ k=\min \left\{ l \in \NN \setminus \left\{ 0\right\} :1<l \le m \wedge m|k\right\}}\) jest niepoprawny, bo definiuje \(\displaystyle{ k}\) przez \(\displaystyle{ k}\) (i prawie w ogóle nie wykorzystuje \(\displaystyle{ l}\)).

Ten zarzut jest nietrafiony, gdyż definiowana jest tu nie liczba \(\displaystyle{ k}\), lecz relacja \(\displaystyle{ f}\). Nie ma więc błędnego koła.
Inna sprawa, że najpewniej wykładowca się tu pomylił. Errare humanum est.

krl pisze:No... tym razem Dasio11 (i Medea2) mają rację: zapis jest formalnie poprawny i definiuje funkcję \(\displaystyle{ f=\{\langle 1,1\rangle,\langle 2,2\rangle\}}\).

Zgadza się, oczywiście. Ta definicja nie jest formalnie niepoprawna (więc ten argument z mojej strony paść nie powinien), co nie zmienia faktu, że mam mocne przekonanie o jej niepoprawności praktycznej. Bo cóż miałoby sprawdzać zadanie o podanej treści?

JK