Matematyka.pl

czy dobrze licze?

\(\displaystyle{ \int \frac{2^x+2^{2x}}{3^x}dx=\int \frac{2^x}{3^x}dx + t \frac {4^x}{3^x}dx=\int(\frac{2}{3})^xdx+\int(\frac{4}{3})^xdx=\frac{(\frac{2}{3})^x}{ln\frac{2}{3}}+\frac{(\frac{4}{3})^x}{ln\frac{4}{3}}+C=\frac{2^x}{3^x(ln\frac{2}{3})}+\frac{4^x}{3^x(ln\frac{4}{3})}+C}\)

Tak.

tylko że matematica pokazuje że pierwsza całka jest ujemna ???

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\ln \frac{2}{3}}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{x} +\frac{1}{\ln \frac{4}{3}} \left(\frac{4}{3}\right)^{x} + C\right)' = \\
= \frac{\ln \frac{2}{3}}{\ln \frac{2}{3}}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{x} +\frac{\ln\frac{4}{3}}{\ln \frac{4}{3}}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{x} =\\
= \left(\frac{2}{3}\right)^{x} + \left(\frac{4}{3}\right)^{x} = \frac{2^{x} + 2^{2x}}{3^{x}}}\)
więc otrzymany przez Ciebie wynik jest dobry...

(a tak btw, to funkcja \(\displaystyle{ y(x) = \frac{1}{\ln \frac{2}{3}}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{x}}\) przyjmuje wartości ujemne, ale chyba nie o to chodziło...)