Wyznaczyć sumę i przecięcie

[Magda0601]

Wyznaczyć: \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{ \infty} A_{n}, \bigcup_{n=1}^{ \infty} A_{n}}\) jeśli \(\displaystyle{ A_{n}=left[ left( 1+ frac{left( -1
ight) ^{n} }{n}
ight) ^{n} ,9+ frac{left( -1
ight) ^{n} }{n}
ight)}\)
Odpowiedź uzasadnić.
Proszę o rozwiązanie i uzasadnienie bo nie umiem zrobić tego zadania.

[a4karo]

Spróbuj narysowac sobie kilka pierwszych zbiorów (np \(\displaystyle{ A_1,\dots,A_6}\)

[Magda0601]

Mam rysunek, ale nie wiem jak mam wyznaczyć sumę i przecięcie. Przez pytania pomocnicze nie dojdę do tego, więc prosze o rozwiązanie i wyjaśnienie co się po kolei robi.

[a4karo]

Nie, rozwiazania nie dostaniesz. Kiedy punkt należy do sumy zbiorów?

[Magda0601]

Musi należeć do przedziału zadanego przez \(\displaystyle{ A _{n}}\)? Mam policzyć granicę dolną i górną tych punktów?

[Jan Kraszewski]

Masz pomyśleć, matematyka to nie magia. Punkt należy do sumy zbiorów gdy należy do któregokolwiek z nich. Narysowanie kilku pierwszych zbiorów ma służyć temu, byś zauważyła, jak te przedziały zmieniają się przy rosnącym \(\displaystyle{ n}\), co pozwala stwierdzić, jaka będzie ich suma/przekrój.

Policzenie pewnych granic może w dalszej perspektywie być pomocne, ale dopiero wtedy, gdy będziesz wiedziała, co i po co liczyć.

JK

[Magda0601]

Czyli żeby policzyć \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{ \infty} A_{n},}\) muszę policzyć granicę górną \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n} \right) ^{n}}\) i granicę dolną \(\displaystyle{ 9+ \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}}\), natomiast żeby policzyć \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty} A_{n}}\) muszę policzyć granicę dolną \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n} \right) ^{n}}\) i granicę górną \(\displaystyle{ 9+ \frac{\left( -1\right) ^{n} }{n}}\) ?

[a4karo]

Nie epatuj terminologią. Masz sobie uświadomić, które punkty na prostej będą należały do wszystkich zbiorów (to przekrój), a krtóre będa należały do któregokolwiek (to suma).

[Magda0601]

Właśnie myślę, że te punkty graniczne, o których pisałam wyżej będą wyznaczały te przedziały.

[a4karo]

A co powiesz np o punkcie \(\displaystyle{ 5}\)? Nie fascynuj się tak granicami: popatrz na te obrazki, dorysuj jeszcze dwa. Może coś wymyslisz...

[Magda0601]

Suma będzie w przedziale \(\displaystyle{ left[ 0; 9,5
ight)}\) to na pewno, bo punkt musi należeć do któregokolwiek przedziału.
Natomiast myślę, że przecięcie będzie w przedziale \(\displaystyle{ left[ frac{1}{e}; 8
ight)}\)
Tak wychodzi z moich rysunków. Czy dobrze ?

[a4karo]

Prawe końce masz OK. Z lewymi musisz jeczsze powalczyć. Czy 1 nalezy do wszystkich zbiorów?

[Magda0601]

Przecięcie jednak będzie w przedziale \(\displaystyle{ left[ e; 8
ight)}\). Ale nadal nie wiem co z sumą. Wydaje mi się, że 1 należy do sumy zbiorów.

[a4karo]

gdze najbardziej "na lewo" jestes w stanie "siegnąć" tymi zbiorami? Lewe końce tworzą dwa ciągi: jeden dla parzystych a drugi dla nieparzystych wskazników. Popatrz jak one sie zachowują.

Z prawej strony podobnie

[Magda0601]

Tak, widzę. Ale nadal obstaję przy tym, że najdalej na lewo sięgają do 0. Skoro do sumy zbiorów ma należeć jakikolwiek punkt, no to już od razu przy policzeniu \(\displaystyle{ A _{1}}\) widać, że wychodzi po lewej stronie 0.