Matematyka.pl

Standardowa szachownica składa się z 64 pól.



Ile jest różnych dróg dla pionka, który musi przejść z lewego górnego rogu szachownicy (A8) do prawego dolnego rogu (H1), zakładając, że pionek w każdym pojedynczym ruchu może pójść albo o jedno pole w prawo, albo o jedno pole w dół?

Dróg jest:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{8}=7}\)

Odpowiedź trochę w formie żartu: Jeżeli przed pionkiem stoi wybór "poruszyć się w prawo", albo "w dół", to ma tylko tylko jedną drogę do wyboru (bo po prawej stronie ma brzeg). A tak na poważnie, to rozumiem, że chodzi o prawą stronę z naszego punktu widzenia.

A nie:

\(\displaystyle{ \frac{14!}{7! \cdot7!}}\)

Bo 7 razy prawo (P) i 7 razy w dół (D). Razem 14 ruchów w dowolnej kolejności. Czyli permutacje z powtórzeniami zbioru 14 elementowego, gdzie jedne elementy powtarzają się 7 i drugie też 7 razy?

Np.dla szachownicy 3x3 byłoby cztery ruchu, po dwa w dół i w prawo:

\(\displaystyle{ \frac{4!}{2! \cdot 2!}=6}\)

\(\displaystyle{ \{DDPP\},\{DPDP\},\{DPPD\},\{PDDP\},\{PDPD\},\{PPDD\}}\)

arek1357 pisze:Dróg jest:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{8}=8}\)

Chyba się nie zrozumieliśmy, ale dzięki za odpowiedź.

szachimat pisze:Jeżeli przed pionkiem stoi wybór "poruszyć się w prawo", albo "w dół", to ma tylko tylko jedną drogę do wyboru (bo po prawej stronie ma brzeg).

Dla pionka jest to zdecydowanie sytuacja tragiczna!


@pesel, o to chodziło! Dzięki!

Zatem istnieją \(\displaystyle{ \frac{14!}{7!\cdot 7!}=3432}\) takie drogi.

Edit. Odwołuję swój wpis.

kropka+ pisze:Nie, dróg jest \(\displaystyle{ 7 \cdot 8=56}\)
Pionek musi zejść siedem wierszy w dół. Z każdego wiersza może zejść na niższy na osiem sposobów. Sprawdź np. na szachownicy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) jest \(\displaystyle{ 2 \cdot 3=6}\) dróg.

Źle rozumujesz. Należy wykonać 14 kroków, z tego dokładnie 7 musi być w prawo i dokładnie 7 w dół.
Twoje stwierdzenie, że "Z każdego wiersza może zejść na niższy na osiem sposobów" jest nieprawdziwe, bo jeżeli pionek znajdzie np. na polu H3, to może zejść na niższy poziom tylko na jeden sposób (nie ma już prawa chodzić po całym wierszu).
O ile w szachownicy 3 na 3, w której są do wykonania 4 kroki (2 w prawo i 2 w dół) twój wynik się powtórzył z wynikiem \(\displaystyle{ \frac{4!}{2! \cdot 2!}=6}\), to już przy szachownicy 4 na 4 nie zgodzi się z twoim schematem, co można sprawdzić "na piechotę".
Potwierdzam odpowiedź , którą podał pesel.

Szach i Mat

Teraz wiem ja brałem pod uwagę spacer po krawędziach a nie po polach!
Moja wina

Tak, pesel dobrze rozwiązał.

Taki młody, a taki mądry