Matematyka.pl

Mam problemy z 3 zadaniami z teorii modułów. Jakieś wskazówki ? jak zacząć sprawdzać warunki

1.
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie pierścieniem, \(\displaystyle{ I \subset R}\) ideałem dwustronnym, \(\displaystyle{ M}\) niech będzie lewym \(\displaystyle{ R}\)-modułem.
Pokazać, że \(\displaystyle{ M/IM}\) jest \(\displaystyle{ R/I}\)-modułem z działaniem zewnętrznym \(\displaystyle{ (r + I)(a + IA) = ra + IA}\).

2. Wskazać przykład skonczenie generowanego modułu, który nie jest skończenie generowaną grupą abelową.

tu wydaje mi się, że ok będzie moduł \(\displaystyle{ Q}\) nad ciałem licz wymiernych, jednak jak wykazać, że jest to skończenie generowany moduł (jeżeli oczywiście mam racje)

3.
Niech\(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\) będą pierścieniami, niech \(\displaystyle{ \phi\colon R \to S}\) będzie homomorfizmem pierścieni. Pokazać,że dowolny \(\displaystyle{ S}\)-moduł \(\displaystyle{ M}\) może być wyposażony w strukturę \(\displaystyle{ R}\)-modułu poprzez zdefiniowanie działania \(\displaystyle{ rm}\), \(\displaystyle{ r \in R}\), \(\displaystyle{ m \in M}\) jako \(\displaystyle{ \phi(r)m}\).

2. Oczywiście nie każdy moduł nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest skończenie generowany. Rozważ \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jako moduł nad samym sobą.

1 i 3. Łatwe. Sprawdź zadaną definicję.

A czy można jakoś bardziej szczegółowo opisać rozwiązanie?

Tak. Niech \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) działa na sobie poprzez mnożenie:

\(\displaystyle{ r\cdot x = rx}\).

Wówczas \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest generowany przez 1, czyli przez jeden element. \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) nie jest jednak wolną grupą Bukowina, tzn. abelową.