Matematyka.pl

Jak udowodnić liniową niezależnośc skończonego układu wielomianów ze zbioru: \(\displaystyle{ \left\{ p_{n} \in P(R) : p_{n}(x)=x^{n} \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \left\{ 0,1,2,...\right\}}\)?

Każdy z tych wielomianów jest różnego stopnia. Jak zpiszemy je w postaci liniowej kombinacji to widać od razu, że wektor zeorwy uzyskamy tylko, gdy wszystkie współczynniki będą zerami. Nie ma innej opcji.

Tylko czy to wystarczy do kompletnego dowodu?

Wpadłam jeszcze na pomysł, by skojarzyć wielomainy ze zwykłymi wektorami z \(\displaystyle{ R^{n}}\) w ten sposób, że np. wielomian \(\displaystyle{ p(x)=x^{2}}\) to wektor \(\displaystyle{ (1,0)}\). Wtedy widać, że wielomiany z naszego zbioru stają się jakby wektorami z bazy kanonicznej - a wtedy liniowa niezalezność jest oczywista.

Oba pomysły są równie dobre, bo w grupie wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) każdy z nich jest wyznaczony jednoznacznie przez ciąg współczynników, a że dwa wielomiany dodają się "współrzędna po współrzędnej", to można traktować je jako wektory.

Jeszcze takie ciekawe pytanko.

Jesli przyjmiemy \(\displaystyle{ n=3}\), to czy wielomianowi \(\displaystyle{ x^{3}}\) odpowiada wektor \(\displaystyle{ (1,0,0,0)}\)?
Jesli tak, to wypada dopowiedzieć, że wielomiany stopnia niewiększego niż \(\displaystyle{ n}\) utożsamiamy z wektormia przestrzeni \(\displaystyle{ R^{n+1}}\).

Czy tak?

Tak, dokładnie tak. Jeżeli wektory są stopnia mniejszego niż \(\displaystyle{ n}\), to z \(\displaystyle{ \mathbb R^n}\), jeżeli co najwyżej - trzeba dodać jedną współrzędną.