Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie niepustym, przeliczalnym zbiorem. Niech \(\displaystyle{ F}\) oznacza klasę wszystkich jego podzbiorów. Jeśli \(\displaystyle{ p : \omega \rightarrow [0, 1]}\) jest funkcją taką, że \(\displaystyle{ P _{ \omega \in \Omega}p(\omega)=1}\), to pokaż, że \(\displaystyle{ P(A):=P _{ \omega \in A}p(\omega), A \subseteq \Omega}\) definiuje miarę probabilistyczną na \(\displaystyle{ (\Omega, F)}\).

To duże \(\displaystyle{ P}\) wygląda u Ciebie na sumę. Sprawdźmy wszystkie aksjomaty prawdopodobieństwa.

1. Każdy zbiór ma nieujemną miarę. To jest prawda, bo sumujemy same nieujemne wartości (zera lub \(\displaystyle{ p(\omega)}\), które z definicji są z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\)).

2. Zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) ma miarę jeden: to wynika z definicji (napisałaś to już).

3. Przeliczalna addytywność. Tu musisz zauważyć, że gdy weźmiemy rozłączne \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots}\), to każdy z nich możemy zapisać jako sumę zdarzeń elementarnych, \(\displaystyle{ \omega_k}\). Wtedy prawdą będzie:

\(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^\infty A_k = \bigcup_{m=1}^\infty \omega_m}\)

Musisz zapisać argument \(\displaystyle{ P(\bigcup_{k=1}^\infty A_k)}\) jako sumę tych \(\displaystyle{ \omega_m}\) i skorzystać z definicji (żeby to rozpisać). Końcówka będzie taka:

\(\displaystyle{ P\left(\bigcup_{m=1}^\infty \omega_m\right) = \sum_{m=1}^\infty P(\omega_m) = \sum_{k=1}^\infty P(A_k)}\)

Nie jestem pewna, czy po drodze nie trzeba jeszcze jakoś uzasadniać tego całego przestawiania, ale idea jest właśnie taka.