Matematyka.pl

Jak zrobić takie zadanie:
wykaż, że każda liczba naturalna \(\displaystyle{ n \ge 35}\) może być przedstawiona w postaci \(\displaystyle{ 5a+6b}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\)

Bardzo proszę o wskazówki.

\(\displaystyle{ 35=5 \cdot 1+6 \cdot 5 \\
36=5 \cdot 6+6 \cdot 1 \\
37=5 \cdot 5+6 \cdot 2 \\
38=5 \cdot 4+6 \cdot 3 \\
39=5 \cdot 3+6 \cdot 4}\)

A dalej już :
\(\displaystyle{ 40=35 +5 \cdot 1}\)
....

To nie jest dowód, tylko przykłady :/

To są wskazówki o które prosiłaś i .... także (prawie) dowód.
Skoro pięć kolejnych liczb naturalnych można wyrazić za pomocą sumy podanej w tezie, to każdą liczbę większą od wypisanych można wyrazić jako jedną z wypisanych i wielokrotność piątki czyli jako sumę zgodną z tezą. QED.

czyli zwyczajnie indukcją matematyczna.
To wystarczy tylko o jeden większa, nie trzeba pięć.
Dzieki

blackbird936 pisze:czyli zwyczajnie indukcją matematyczna.
To wystarczy tylko o jeden większa, nie trzeba pięć.

To może pokażesz jak wystarcza Ci tylko jedna liczba z właściwym rozkładem.

I jak sądzisz, dlaczego przeprowadza się dowód dopiero od liczby 35, a nie od innej naturalnej od niej mniejszej ?

Uogólnienie - - liczba Frobeniusa dla \(\displaystyle{ n=2}\) to \(\displaystyle{ ab-a-b}\), co wiedział już Sylvester w 1884. U nas: \(\displaystyle{ g(5,6) = 30 - 5 - 6 = 19}\).