Strona 1 z 1

Czy istnieje macierz B?

: 4 mar 2015, o 13:47
autor: Olka42
Niech \(\displaystyle{ A= \left[
\begin{array}{cc}
1 & 4\\
2 & 3
\end{array}
\right]
\qquad}\)

Czy istnieje macierz \(\displaystyle{ B}\) o współczynnikach rzeczywistych taka, że \(\displaystyle{ det (B)=7}\) oraz
\(\displaystyle{ B ^{-1}AB = \left[
\begin{array}{cc}
c & 0\\
0 & d
\end{array}
\right]}\)

dla pewnych \(\displaystyle{ c, d \in R}\)? Jeśli tak to podać przykład takiej macierzy \(\displaystyle{ B}\).
Proszę o pomoc.

Czy istnieje macierz B?

: 4 mar 2015, o 13:50
autor: miodzio1988
jaki wymiar musi miec taka macierz?

No i skorzystaj z tw. Cauchy ego

Czy istnieje macierz B?

: 4 mar 2015, o 13:56
autor: Olka42
Nie wiem z jakiego twierdzenia Cauchy'ego. Wymiar 2.

Czy istnieje macierz B?

: 4 mar 2015, o 13:57
autor: miodzio1988
o wyznaczniku macierzy

Czy istnieje macierz B?

: 4 mar 2015, o 14:11
autor: bartek118
W czym niby to twierdzenie miałoby pomóc?
Policz wartości własne tej macierzy.
Prawdziwe jest następujące twierdzenie - jeżeli macierz ma \(\displaystyle{ n}\) parami różnych wartości własnych, to jest diagonalizowalna (szczególny przypadek twierdzenia Jordana).
A potem dostosować wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ B}\) to już nieduży problem.

Czy istnieje macierz B?

: 4 mar 2015, o 14:22
autor: miodzio1988
\(\displaystyle{ B ^{-1}AB = \left[ \begin{array}{cc} c & 0\\ 0 & d \end{array} \right]}\)
zastosowanego do tego daje nam zależność między \(\displaystyle{ c}\) a \(\displaystyle{ d}\)

Z tego bardzo szybko można zgadnąć wartości własne.

Czy istnieje macierz B?

: 4 mar 2015, o 15:00
autor: Olka42
No mam te wartości własne 5 i -1. I wektory własne (1, 1) o (-2, 1) ale jak z nich buduję macierz B to jej wyznacznik wynosi 3 a nie 7.

Czy istnieje macierz B?

: 4 mar 2015, o 15:06
autor: bartek118
No to teraz pomnóż każdą wartość w macierzy przejścia przez \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{7}{3}}}\)

Czy istnieje macierz B?

: 4 mar 2015, o 15:25
autor: Olka42
Coś takiego mi wcześniej wyszło ale myślałam że to bez sensu. Czyli odpowiedzią jest \(\displaystyle{ B= \left[
\begin{array}{cc}
\sqrt{ \frac{7}{3} } & -2 \sqrt{ \frac{7}{3} } \\
\sqrt{ \frac{7}{3} } & \sqrt{ \frac{7}{3} }
\end{array}
\right]
\qquad}\)
?

Czy istnieje macierz B?

: 5 mar 2015, o 07:52
autor: bartek118
Wygląda na to, że tak. Wymnóż te macierze, to będziesz miała pewność.