Matematyka.pl

Czy istnieje funkcja niemalejąca \(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\) nieciągła w każdym punkcie \(\displaystyle{ x \in Q}\), ale ciągła w każdym punkcie \(\displaystyle{ x \in R-Q}\)?

Istnieje, nawet na dowolnym zbiorze przeliczalnym. Gęstość nie ma znaczenia.

Niech \(\displaystyle{ A=\{a_1,a_2,\dots\}}\) będzie nieskończonym zbiorem przeliczalnym, a \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} p_n=p}\) zbieżnym szeregiem liczbowym o składnikach dodatnich. Definiujemy

\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{\begin{smallmatrix}m\\ a_m\le x\end{smallmatrix}} p_m}\)

(suma wszystkich \(\displaystyle{ p_m}\) takich, że \(\displaystyle{ a_m\le x}\)). Funkcja jest niemalejąca w trywialny sposób, w każdym punkcie \(\displaystyle{ a_n}\) ma skok o wielkości \(\displaystyle{ p_n}\), nie ma skoków poza \(\displaystyle{ A}\).

Przykład ściągnąłem z książki Gelbauma i Olmsteda "Counterexamples in analysis", w wydaniu z roku 1992 strona 28.

Jak widać, to takie coś typu dystrybuanta (np. jeśli \(\displaystyle{ p=1}\) i \(\displaystyle{ p_n=\frac{1}{2^n}}\)).

Świetny przykład

Można też się domyślać, że może istnieje taka funkcja, próbując udowodnić coś przeciwnego. Mianowicie, niech \(\displaystyle{ g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) będzie nieciągła na \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), a ciągła na \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\). Na tym etapie myślę, że sprowadzę to do sprzeczności. Biorę zatem punkt \(\displaystyle{ x}\) niewymierny i rozważam jego ciąg przybliżeń wymiernych \(\displaystyle{ (q_n)_{n \in \mathbb{N}}}\). Skoro \(\displaystyle{ g}\) jest nieciągła w każdym wyrazie tego ciągu, oznacza to, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) istnieje monotoniczny ciąg \(\displaystyle{ (s_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}}\) zbieżny do \(\displaystyle{ q_n}\), ale taki, że \(\displaystyle{ g(s_{n_k})}\) przy \(\displaystyle{ k \to \infty}\) nie zbiega do \(\displaystyle{ g(q_n)}\). Chciałoby się teraz wybrać przekątniowo ciąg \(\displaystyle{ (s_{n_n})_{n \in \mathbb{N}}}\) i stwierdzić, że ciąg wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) na tym ciągu nie zbiega do \(\displaystyle{ g(x)}\). Ale niestety o ciągu \(\displaystyle{ (s_{n_n})}\) niewiele można powiedzieć, może on być nawet stały! Możnaby próbować bezpieczniej. Niech \(\displaystyle{ \varepsilon_1}\) będzie taką liczbą dodatnią, że istnieje liczba \(\displaystyle{ k_1}\) taka, że \(\displaystyle{ \left| g(s_{1_k_{1}}) - g(q_1)\right| \geq \varepsilon_1}\). Dalej, niech \(\displaystyle{ \varepsilon_2}\) spełnia to, że istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ k_2}\) taka, że \(\displaystyle{ \left| g(s_{2_k_2}) - g(q_2) \right| \geq \varepsilon_2}\). Znowu tworzymy ciąg \(\displaystyle{ (s_{n_k_n})_{n \in \mathbb{N}}}\), który jest podobny do ciągu przekątniowego, ale tu dbaliśmy chociaż o to, żeby wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) na tym ciągu były "jakoś" odległe od wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) na ciągu \(\displaystyle{ (q_n)}\). Niestety nie możemy dobrać ciągu \(\displaystyle{ (\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) tak, aby \(\displaystyle{ \inf\left\{ \varepsilon_n : n \in \mathbb{N}\right\}>0}\). Wynika to stąd, że na każdym, \(\displaystyle{ n-}\)tym kroku zaprzeczamy jedynie zbieżności ciągu \(\displaystyle{ g(s_{n_k})}\) do liczby \(\displaystyle{ g(q_n)}\). Zaprzeczając takiej zbieżności wiemy właśnie dokładnie tyle, że istnieje jakiś \(\displaystyle{ \varepsilon_n}\) taki, że istnieje jakiś element ciągu \(\displaystyle{ (g(s_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}}\)...
Przepraszam za to paskudne indeksowanie.
Wiem, że nieudna próba dowodu nie dowodzi faktu przeciwnego, ale przy takich próbach często widać coś więcej

ZF+GCH pisze:Świetny przykład

Moja zasługa jest tylko taka, że wiem gdzie szukać. Wspomniana książka jest świetna. Już mogę wiedzieć, gdzie jest magister

Ładne zadanie
Pozdrawiam,
Marcin Kuczma

Nie sądziłam że nie wolno prosić o wskazówki do rozwiązania tych zadań z zewnątrz...

Jakoś nie widzę tutaj prośby o wskazówkę

Podano zadanie. Każdy wykładowca na studiach matematycznych może je zadać. Widzimy uśmieszek ze strony potencjalnego zadającego .

Książkę Gelbauma-Olmsteda powinien znać każdy student matematyki.