Matematyka.pl

Czy istnieje dowód spójności matematyki?

Co rozumiesz przez spójność matematyki?

NIe, bo nie można spójnie zdefiniować pojęcia spójności

Mam na myśli absolutny dowód niesprzeczności wszystkich twierdzeń matematycznych i wszystkich teorii matematycznych. Jeśli takiego dowodu nie ma może się kiedyś okazać że niektóre teorie trzeba będzie odrzucić, albo uściślić gdy pojawi się nowe twierdzenie.

Każde twierdzenie ma swój dowód, więc nie mogą one być sprzeczne. Zazwyczaj diabeł tkwi w założeniach (jeśli komuś się wydaje, że twierdzenia są sobie sprzeczne).

Teoretycznie może się kiedyś okazać, że aksjomaty ZFC są wewnętrznie sprzeczne. Nie możemy jednak pokazać, że nie są (to zdaje się odpowiadać na pytanie postawine w tym wątku; jest to słynne twierdzenie Godla). Pozostaje nam wierzyć, że są niesprzeczne.

Więcej na ten temat tutaj:

... consistent

Spektralny pisze:Teoretycznie może się kiedyś okazać, że aksjomaty ZFC są wewnętrznie sprzeczne. Nie możemy jednak pokazać, że nie są (to zdaje się odpowiadać na pytanie postawine w tym wątku; jest to słynne twierdzenie Godla). Pozostaje nam wierzyć, że są niesprzeczne.

Więcej na ten temat tutaj:

... consistent

Ale jeśli się okaże że są sprzeczne górne piętra matematyki te najbardziej ogólne mogą się okazać budowaniem zamków na piasku.

Nie wiem co masz na myśli przez górne piętra i najbardziej ogólne twierdzenia ale staraj się unikać takich nieścisłych zwrotów by nie zmieniać dyskusji w tzw. filozofowanie czy bajanie na temat rzeczy o których mimo wszystko da się mówić bardzo ściśle.

Spektralny pisze:Nie wiem co masz na myśli przez górne piętra i najbardziej ogólne twierdzenia ale staraj się unikać takich nieścisłych zwrotów by nie zmieniać dyskusji w tzw. filozofowanie czy bajanie na temat rzeczy o których mimo wszystko da się mówić bardzo ściśle.

Mam na myśli rzecz następującą. Matematycy aby dochodzić do nowych prawd matematycznych nie zaczynają od aksjomatów tylko korzystają z już udowodnionych ogólnych twierdzeń które z kolei opierają się na niższych piętrach i tak dalej aż do aksjomatów. Teoria zaksjomatyzowana jest najbardziej ścisła ale wystarczy że pojawi się jakieś pęknięcie u podstawy albo twierdzenie niezgodne z innym twierdzeniem a trzeba będzie przebudować matematykę od podstaw. Taka sytuacja pojawiła się już kiedyś. Znaleziono liczne antynomie na gruncie teorii mnogości i trzeba było wszystko uporządkować na nowo. Jaką mamy pewność że się to nie powtórzy?

iksinski pisze:Taka sytuacja pojawiła się już kiedyś. Znaleziono liczne antynomie na gruncie teorii mnogości i trzeba było wszystko uporządkować na nowo. Jaką mamy pewność że się to nie powtórzy?

Nie do końca się zgodzę. W początkowej fazie tworzenia się teorii mnogości wiele elementów nie było dostatecznie uściślonych, dlatego wkrótce pojawiły się u jej podstaw pewne nieuniknione sprzeczności (antynomie). To była tak zwana naiwna teoria mnogości wywodząca się ze słabo sprecyzowanej cantorowskiej definicji zbiorów. Stąd powstała potrzeba większej formalizacji, dokładniej sformułowania aksjomatów \(\displaystyle{ ZFC}\), aby z powodzeniem można było rozwijać tę teorię mnogości, którą znamy dzisiaj.
Czyli nic nie zostało przebudowywane na nowo tak, jak piszesz. W języku (logiki), który używamy dzisiaj naiwna teoria mnogości nie była po prostu teorią matematyczną.

Tak, jak pisał Spektralny któregoś dnia może okazać się, że \(\displaystyle{ ZFC}\) jest teorią sprzeczną, czyli dowodzi każdego twierdzenia. Z twierdzeń Goedla wynika, że na gruncie \(\displaystyle{ ZFC}\) niesprzeczności jej samej nie jesteśmy w stanie udowodnić. Dowieść niesprzeczności \(\displaystyle{ ZFC}\) jednak można pracując w większej teorii (np. rozszerzonej o pewien dodatkowy aksjomat), jednak dla tej większej dalej nie potrafimy (na jej gruncie) rozstrzygnąć, czy ona jest niesprzeczna, itd...

Jednak zwróćmy uwagę, że \(\displaystyle{ ZFC}\) nie jest i nie musi być jedyną formalizacją matematyki. Być może kiedyś matematyka (formalnie) będzie oparta na innym fundamencie - to znaczy większość matematyków przyjmie inną teorię, jako metateorię dla innych działów matematyki.
Zauważmy, że większość matematyków prowadząc swoje badaniach w różnych dziedzinach takich, jak analiza, czy algebra nie schodzi na poziom języka teorii zbiorów, aby dowodzić swoich twierdzeń. Można powiedzieć, że im ta możliwość reprezentacji wszystkich obiektów matematycznych poprzez zbiory i sprowadzenia każdego działu do wspólnego języka pierwszego rzędu nie jest bezpośrednio potrzebna.

Moim zdaniem problemy niesprzeczności takie, jak omawiane powyżej nie mają większego znaczenia dla bieżącej pracy matematyków i dotychczasowego dorobku matematyki. "Prawdziwy" język matematyki to ten wykształcany przez wieki przez społeczeństwo matematyczne, dzięki któremu możemy wspólnie się porozumiewać i skutecznie przekonywać innych o poprawności rozumowań. I ten język jest niezawodny... dopóki my o jego niezawodności jesteśmy przekonani.

Tomasz Tkaczyk pisze: Zauważmy, że większość matematyków prowadząc swoje badaniach w różnych dziedzinach takich, jak analiza, czy algebra nie schodzi na poziom języka teorii zbiorów, aby dowodzić swoich twierdzeń. Można powiedzieć, że im ta możliwość reprezentacji wszystkich obiektów matematycznych poprzez zbiory i sprowadzenia każdego działu do wspólnego języka pierwszego rzędu nie jest bezpośrednio potrzebna.

Zgadza się. Ewentualną sprzeczność ZFC możnaby porównać do błędu . Rzeczywiście obliczenia arytmetyczne dużej dokładności były błędne, ale nie prowadziło to do powiedzmy notorycznego zawieszania się systemu operacyjnego. Dla mnie ciekawszym byłoby gdyby okazało się, że (dużo silniejsza) teoria ZFC + istnieje liczba mierzalna jest sprzeczna. Obecnie wydaje się to niezmiernie mało prawdopodobne.

Tomasz Tkaczyk pisze: Tak, jak pisał Spektralny któregoś dnia może okazać się, że \(\displaystyle{ ZFC}\) jest teorią sprzeczną, czyli dowodzi każdego twierdzenia. Z twierdzeń Goedla wynika, że na gruncie \(\displaystyle{ ZFC}\) niesprzeczności jej samej nie jesteśmy w stanie udowodnić. Dowieść niesprzeczności \(\displaystyle{ ZFC}\) jednak można pracując w większej teorii (np. rozszerzonej o pewien dodatkowy aksjomat), jednak dla tej większej dalej nie potrafimy (na jej gruncie) rozstrzygnąć, czy ona jest niesprzeczna, itd...

Właśnie o to mi chodzi. I co wtedy? Całe stulecie rozwoju teorii mnogości legnie w gruzach a ciężka praca matematycznych umysłów okaże się nadmuchiwaniem balonu nicością.

Zauważmy, że większość matematyków prowadząc swoje badaniach w różnych dziedzinach takich, jak analiza, czy algebra nie schodzi na poziom języka teorii zbiorów, aby dowodzić swoich twierdzeń. Można powiedzieć, że im ta możliwość reprezentacji wszystkich obiektów matematycznych poprzez zbiory i sprowadzenia każdego działu do wspólnego języka pierwszego rzędu nie jest bezpośrednio potrzebna.

Zgadza się. ale chcąc udowodnić niesprzeczność całej matematyki trzeba tworzyć względne dowody niesprzeczności typu jeśli jedna teoria niesprzeczna to druga też niesprzeczna i pomału ułożyć siatkę implikacji. Jeśli te implikacje połączą się w całość można wtedy udowodnić niesprzeczność całej matematyki. Moje pytanie jest takie: czy podejmuje się takie próby? Czy jest możliwe złożenie tego wszystkiego w całość czy też nie?

Moim zdaniem problemy niesprzeczności takie, jak omawiane powyżej nie mają większego znaczenia dla bieżącej pracy matematyków i dotychczasowego dorobku matematyki. "Prawdziwy" język matematyki to ten wykształcany przez wieki przez społeczeństwo matematyczne, dzięki któremu możemy wspólnie się porozumiewać i skutecznie przekonywać innych o poprawności rozumowań. I ten język jest niezawodny... dopóki my o jego niezawodności jesteśmy przekonani.

To jest sprawa bardzo subiektywna. Antynomia Russella obaliła przecież naiwną teorię mnogości, pogłebiono i uściślono pojęcia ale to może się okazać zbyt mało. Może pojawić się kiedyś drugi Russell dwakroć głębszy od pierwszego i co wtedy? Całe stulecia pracy matematyków znów pójdą na marne? Kto ustala prawdziwość dowodu matematycznego w środowisku matematycznym i na jakiej zasadzie?

iksinski pisze:

Tomasz Tkaczyk pisze: Tak, jak pisał Spektralny któregoś dnia może okazać się, że \(\displaystyle{ ZFC}\) jest teorią sprzeczną, czyli dowodzi każdego twierdzenia. Z twierdzeń Goedla wynika, że na gruncie \(\displaystyle{ ZFC}\) niesprzeczności jej samej nie jesteśmy w stanie udowodnić. Dowieść niesprzeczności \(\displaystyle{ ZFC}\) jednak można pracując w większej teorii (np. rozszerzonej o pewien dodatkowy aksjomat), jednak dla tej większej dalej nie potrafimy (na jej gruncie) rozstrzygnąć, czy ona jest niesprzeczna, itd...

Właśnie o to mi chodzi. I co wtedy? Całe stulecie rozwoju teorii mnogości legnie w gruzach a ciężka praca matematycznych umysłów okaże się nadmuchiwaniem balonu nicością.

Zły wniosek.

Zgadza się. ale chcąc udowodnić niesprzeczność całej matematyki trzeba tworzyć względne dowody niesprzeczności typu jeśli jedna teoria niesprzeczna to druga też niesprzeczna i pomału ułożyć siatkę implikacji.

ZFC nie może udowodnić swojej niesprzeczności chyba, że jest sprzeczna.

Jeśli te implikacje połączą się w całość można wtedy udowodnić niesprzeczność całej matematyki. Moje pytanie jest takie: czy podejmuje się takie próby? Czy jest możliwe złożenie tego wszystkiego w całość czy też nie?

Nie, nie jest to możliwe.

Antynomia Russella obaliła przecież naiwną teorię mnogości, pogłebiono i uściślono pojęcia ale to może się okazać zbyt mało.

Naiwna teoria mnogości nie była teorią matematyczną sensu stricte.

A więc wniosek jest taki. Wszyscy matematycy wierzą że matematyka jest niezawodna ale nie potrafią tego udowodnić. Czyż nie? Czyli wszystko opiera się na wierze a nie na pewności.

iksinski pisze:A więc wniosek jest taki. Wszyscy matematycy wierzą że matematyka jest niezawodna ale nie potrafią tego udowodnić. Czyż nie? Czyli wszystko opiera się na wierze a nie na pewności.

Wszyscy matematycy wierzą że matematyka jest niezawodna ale nie mogą tego udowodnić. Niemal 100 lat pracy w ZFC jest najlepszym świadectwem tego, że znalezienie sprzeczności jest mniej prawdopodobne niż wygranie w totka. Do tego, nawet gdyby taka sprzeczność się znalazła to znakomita większość matematyki i tak przetrwa.

Zauważ, że twierdzenie Godla sprowadza wszystko do arytmetyki Peano. Czy ze sprzeczności arytmetyki Peano wynikałoby, że to co wiemy o liczbach natuaralnych nie ma sensu? Że nasze obliczenia są błędne? (Sprzeczność arytmetyki Peano implikowałaby, że 1=0.) Oczywiście, zawsze możesz się okopać w ubogiej teorii, której niesprzeczność można udowodnić, jak na przykład arytmetyka Presburgera, ale wtedy odbierasz sobie możność mnożenia liczb naturalnych. Przypomina to postawę ascetów czekających na koniec świata.

Mam wrażenie, że chcesz na siłę przypisać matematykom, że pracują w oparciu o wiarę, podczas to właśnie Ty podchodzisz do sprawy z metafizycznego punktu widzenia - moim zdaniem całkowicie niepotrzebnie.

Matematyka to nie jest wyłącznie operawanie na zbiorach, tak jak programowanie to nie jest przerabianie programów na kod Assemblera.