Matematyka.pl

"W półokrąg o promieniu R wpisano trapez, którego podstawą jest średnica okręgu. Dla jakiego kąta przy podstawie trapezu jego pole jest największe?"
Proszę przede wszystkim o wynik i jeszcze jakby można było to interpretację drugiej pochodnej lub rozwiązanie monotoniczności pierwszej pochodnej (żeby można było zinterpretować miejsca zerowe pierwszej pochodnej). Z góry dziękuję.

Bez straty ogólności można przyjąć \(\displaystyle{ R=1}\). Szukany kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)}\). Prawy koniec wyłączyłem, gdyż wówczas mamy pole zerowe.
Dolna podstawa ma długość \(\displaystyle{ 2}\). Wyznacz w zależności od kąta wysokość i drugą podstawę; jako pole otrzymasz pewną funkcję zmiennej \(\displaystyle{ \alpha}\), którą musisz zmaksymalizować; nie jestem przekonany czy pochodne będą w ogóle tu potrzebne.

Nie miałem maksymalizacji funkcji. Muszę rozwiązać zadanie za pomocą pochodnych i ekstremów funkcji. :/
Edit: Właśnie udało mi się dojść do równania funkcji zależnej tylko od \(\displaystyle{ \alpha}\), ale nie jestem pewien czy dalej wszystko dobrze policzyłem.

Napisz, jaki wzór otrzymałeś.

Podobne zadanie było na Olimpiadzie o Diamentowy Indeks AGH, lecz tam, wiedząc że ramię jest nachylone do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) należało obliczyć jego pole. Poprawny wynik opisujący pole to: \(\displaystyle{ 4R^{2}\sin^{3}\alpha \cos\alpha}\).

Nieprzekonany pisze: Właśnie udało mi się dojść do równania funkcji zależnej tylko od \(\displaystyle{ \alpha}\), ale nie jestem pewien czy dalej wszystko dobrze policzyłem.

szachimat pisze:Napisz, jaki wzór otrzymałeś.

Nieprzekonany - Nie przekonałeś mnie co do pogrubionego.

Dobra to oznaczamy:
\(\displaystyle{ a}\) - połowa krótszej podstawy (połowa bo będzie łatwiej zapisać zależności trygonometryczne)
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość trapezu
\(\displaystyle{ R}\) - dany promień okręgu, zarazem połowa dłuższej podstawy

Rysunek potrzebny do opisania zależności trygonometrycznych:


Opisałem:
\(\displaystyle{ \sin ( \pi - 2 \alpha ) = h/R}\)
\(\displaystyle{ \cos ( \pi -2 \alpha ) = a/R}\)

Pole trapezu wiadomo:
\(\displaystyle{ P = \frac{(2a+2R) \cdot h}{2}}\)
Po podstawieniu, użyciu wzorów redukcyjnych i uproszczeniu wychodzi:
\(\displaystyle{ P( \alpha ) = - R^{2}\sin (2 \alpha )\cos (2 \alpha ) - R ^{2} \sin (2 \alpha )}\)

Dlaczego: \(\displaystyle{ \sin ( \pi - 2 \alpha ) = h/R}\) i \(\displaystyle{ \cos ( \pi -2 \alpha ) = a/R}\)?

@UP
To są funkcje trygonometryczne tego trójkąta na który wskazuje czerwona strzałka. Tylko zapomniałem jeszcze zaznaczyć na nim że przeciwprostokątna to \(\displaystyle{ R}\), ale to wynika z obrazka.

Nieprzekonany pisze:@UP
To są funkcje trygonometryczne tego trójkąta na który wskazuje czerwona strzałka. Tylko zapomniałem jeszcze zaznaczyć na nim że przeciwprostokątna to \(\displaystyle{ R}\), ale to wynika z obrazka.

No cóż. Widzisz rzeczy, których nie ma, a nie widzisz tych, które są? To powiedz mi jaki tam jest kąt przy czerwonej strzałce, przy której się tak koncentrujesz, a jaki jest zawarty w moim pytaniu.

Ehhh. Błąd jest na rysunku bo robiłem go na szybko, cała reszta się zgadza. Można wywnioskować kąt z rysunku i widać że tam jest po prostu pomyłka. To jest już prawidłowy rysunek:

Teraz się rozumiemy.

We wzorze \(\displaystyle{ P( \alpha ) = - R^{2}\sin (2 \alpha )\cos (2 \alpha ) - R ^{2} \sin (2 \alpha )}\) popraw drugi "-" na "+" i powinno być dobrze.
Pochodna sprowadzi się do postaci:
\(\displaystyle{ P'( \alpha )=2R ^{2} \cdot [-2(cos2 \alpha ) ^{2} +cos2 \alpha +1]}\)
Po podstawieniu wyjdzie:
\(\displaystyle{ t_{1}=1}\) (warunki zadania nie będą spełnione, bo kąt nie może być równy zero)
\(\displaystyle{ t _{2}=- \frac{1}{2}}\), stąd \(\displaystyle{ 2 \alpha = 120^{0}}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha = 60^{0}}\)
I można np. wykazać, że dla \(\displaystyle{ 60^{0}}\) druga pochodna jest ujemna, czyli istnieje maksimum.

No więc wstawiam do wzoru na pole trapezu i na surowo otrzymuję:

\(\displaystyle{ P = \frac{(2R \cos ( \pi -2 \alpha ) + 2R) \cdot R \sin ( \pi -2 \alpha ) }{2}}\)

Skracam dwójki i wymnażam nawias. Redukuję tak żeby znikło \(\displaystyle{ \pi}\) a zostało same \(\displaystyle{ -2 \alpha}\) i potem pozbywam się minusów - cosinus jest parzystą funkcją więc bez zmiany znaku, a sinus jest nieparzystą więc ze zmianą znaku. Wychodzi mi że oba minusy są poprawne. Gdzie mam błąd?

Tak, ale we wzorze redukcyjnym:
\(\displaystyle{ sin( \pi -x)=sinx}\) (i tu się zgadza), natomiast
\(\displaystyle{ cos( \pi -x)=\red -\ cosx}\) (i tu się pomyliłeś)

Błąd tkwi w rozumowaniu "Redukuję tak żeby znikło \(\displaystyle{ \pi}\) a zostało same \(\displaystyle{ -2 \alpha}\) i potem pozbywam się minusów - cosinus jest parzystą funkcją więc bez zmiany znaku, a sinus jest nieparzystą więc ze zmianą znaku"

Dobra, czyli pomyliłem się przy redukcji.
Teraz wychodzi że powinno być tak:
\(\displaystyle{ P( \alpha ) = R ^{2} \sin (2 \alpha ) \cos (2 \alpha ) - R ^{2} \sin (2 \alpha )}\)