Matematyka.pl

Witam. Ucząc się do Egzaminu przekształcałem sobie wzory prędkości i przyspieszenia, chcąc lepiej zrozumieć poruszanie się ciał i trajektorie lotów i spadków. I oto do jakich ja wniosków doszedłem:

\(\displaystyle{ v = \frac{s}{t} ;
s = vt;
t = \frac{s}{v} ;}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{s}{t ^{2} } ;
s = at ^{2} ;
t ^{2} = \frac{s}{a} ;
t = \sqrt{ \frac{s}{a} } ;}\)

Można więc również zapisać, że:

\(\displaystyle{ g = 10 \frac{m}{s ^{2} } ;
h = s;
a = g = \frac{s}{t ^{2} } = \frac{h}{t ^{2} } ;}\)

Oraz:

\(\displaystyle{ s = at ^{2} ;
h = gt ^{2} ;}\)

Możemy więc zapisać to w ten sposób:

\(\displaystyle{ s - at ^{2} = 0;}\)

lub gdy wspominamy o spadku ciał:

\(\displaystyle{ h - gt ^{2} = 0;}\)


I zrobiłem nawet drobne sprawdzenie słuszności tych wyliczeń i jak się okazało, wszystko się zgadzało:

\(\displaystyle{ s = 1000 m;
t = 10 s;
a = 10 \frac{m}{s ^{2} } ;

s - at ^{2} = 0;

1000 m - 10 \frac{m}{s ^{2} } \cdot \left( 10 s\right) ^{2} = 0;
1000 m - 10 \frac{m}{s ^{2} } \cdot 100 s ^{2} = 0;
1000 m - 1000 m = 0;
0 = 0;
L = P;}\)


Do czego zatem zmierzam ?
Otóż problem dotyczy głównie zadania drugiego z tejże listy:


W tym temacie:
383623.htm

próbowałem je wyliczyć.

Zastosowałem w nim następujący wzór (jeden z wielu, podanych przez naszego wykładowcę) na czas trwania rzutu poziomego:

\(\displaystyle{ h - \frac{gt ^{2} }{2} = 0;
t = \sqrt{ \frac{2h}{g} } ;}\)

Co dawało w tamtym zadaniu następujący wynik:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{2 \cdot 500 m}{10 \frac{m}{s ^{2} } } } = \sqrt{ \frac{1000 m}{10 \frac{m}{s ^{2} } } } = \sqrt{1000 m \cdot 0,1 \frac{s ^{2} }{m} } = \sqrt{100 s ^{2} } = 10 s;}\)

Pan SlotaWoj napisał, że:

t, A1 i A2 obliczone dobrze.

A zwłaszcza czas t i nie rozumiem dlaczego, jako iż z tym co wyliczałem na początku, to wzór na czas trwania rzutu poziomego powinien wyglądać następująco:

\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{h}{g} }}\)

a nie jak w zadaniu:

\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{2h}{g} }}\)

Moje pytanie postawione w tym miejscu jest zatem następujące:
Skąd w tym wzorze w zadaniu wzięła się ta cholerna dwójka i czy faktycznie powinna ona tam być ?? Czy może jednak to wykładowca omyłkowo źle napisał ten wzór (albo ja go źle przepisałem (ewentualnie jedno i drugie ;D)) ?? I przy okazji pan SlotaWoj również się pomylił w swoim osądzie ?


Zgodnie z tymi wzorami, które wyprowadziłem, czas spadku tych ciał w zadaniu z wysokości 500 metrów powinien wynosić:

\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{500 m}{10 \frac{m}{s ^{2} } } } = \sqrt{500 m \cdot 0,1 \frac{s ^{2} }{m} } = \sqrt{50 s ^{2} } = \sqrt{50} s;}\)

Oczywiście można jeszcze ten pierwiastek rozbić, ale to mój najmniejszy problem w chwili obecnej. Tak rozwiązałem to zadanie. Pytanie teraz, czy dobrze ? Czy może jednak tamta dwójka we wzorze jest potrzebna ?? A skoro jest potrzebna, to dlaczego i skąd się tam wzięła ???


Liczę na Waszą pomoc jak i szczere i szczegółowe wyjaśnienia w tej sprawie, jako iż nie daje mi to spokoju. Będę na prawdę wdzięczny, jeżeli uzyskam odpowiedź na moje rozterki. Z góry dziękuję bardzo

Pozdrawiam

\(\displaystyle{ v= \frac{s}{t}}\) - ten wzór opisuje szybkość chwilową tylko w ruchu jednostajnym. Jak wiadomo spadek czy też rzut jest ruchem jednostajnie zmiennym, w którym definiuje się przyspieszenie jako \(\displaystyle{ a= \frac{\Delta v}{\Delta t}}\). Wobec tego zależność prędkości od czasu wygląda następująco \(\displaystyle{ v(t)=at}\) (bez prędkości początkowej). Licząc odpowiednią całkę (bądź prościej pole pod wykresem funkcji \(\displaystyle{ v(t)}\)) dostajemy \(\displaystyle{ s= \frac{at ^{2} }{2}}\) i stąd \(\displaystyle{ t= \sqrt{ \frac{2s}{a} }}\).

Tu najpewniej trzeba wytłumaczyć dla czego jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ a \ nie \ np. \ \frac{1}{3}}\) Wzór jest konsekwencją a tego co zachodzi a nie odwrotnie.

Można ominąć całkowanie oraz liczenie pola pod wykresem. Droga równa się iloczynowi prędkości średniej w czasie całego czasu ruchu i czasu \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ s=v_{sr}t}\)
Ponieważ, prędkość rośnie liniowo, to jej wartość średnia w czasie \(\displaystyle{ t}\) wynosi
\(\displaystyle{ v_{sr}=\frac{v+v_o}{2}=\frac{v_o+at+v_o}{2}=v_o+\frac{at}{2}}\)
Wstawiamy do s
\(\displaystyle{ s=(v_o+\frac{at}{2})t=v_o t+\frac{at^2}{2}}\)

sailormoon88 pisze: Ponieważ, prędkość rośnie liniowo, to jej wartość średnia w czasie t wynosi

A żeby to udowodnić trzeba albo pocałkować, albo obliczyć bardziej bezpośrednio pole

Zatem pytanie teraz mam proste. Po co istnieje coś tak durnego jak przekształcanie wzorów, skoro jak widzimy - nie działa ?? A przynajmniej... nie zawsze się sprawdza... ;/


\(\displaystyle{ a = \frac{s}{t ^{2} } ; s = at ^{2} ; t ^{2} = \frac{s}{a} ; t = \sqrt{ \frac{s}{a} } ;}\)

Heh...
Nadal nie bardzo to rozumiem.
;/

Nitr0Skay pisze:skoro jak widzimy - nie działa ??

Działa, tylko musisz przekształcać odpowiednie, prawdziwe wzory. Skoro wyszedłeś od niepoprawnego wzoru na drogę, to jak masz otrzymać poprawny wynik? Tu nie matematyka zawodzi, tylko musisz doczytać trochę z kinematyki, kiedy dany wzór można stosować. Bo wszystko (większość) co tam się pojawia to są wzory do konkretnych przypadków.

\(\displaystyle{ s=\frac{v}{t}}\) działa tylko w przypadku ruchu ze stałą wartością prędkości. A Ty chcesz go stosować do ruchu, w którym prędkość stała nie jest (z definicji). To jak ważyć słonia na wadze łazienkowej i dziwić się, że się połamała

AiDi pisze:

Nitr0Skay pisze:skoro jak widzimy - nie działa ??

Działa, tylko musisz przekształcać odpowiednie, prawdziwe wzory.

Zatem... skąd mam wiedzieć, które wzory są "odpowiednie" ??
No i który wzór stosować w których sytuacjach ??
Skąd mam wiedzieć, który wzór i gdzie mogę zastosować ?

Ruch jednostajnie zmienny opisujemy poprzez ;
1.Przyśpieszenie
(1)\(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ a= \frac{v -v _{o} }{t}}\)
2.Prędkość końcowa z równania(1)
(2) \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ v =v _{o} +at}\)
vo-prędkość początkowa, t - czas trwania ruchu
3. Obliczając pole figury- trapezu pod wykresem dla ruchu zmiennego ;
(3) \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ s= \frac{v _{o}+v }{2} \cdot t}\)
Wstawiamy do równania (3) przepis(2) i otrzymamy równanie na przebytą drogę s w ruchu jednostajnym przyśpieszonym;
(4) \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ s= \frac{2v _{o} \cdot t+at ^{2} }{2}}\) \(\displaystyle{ }\)lub rozkładając ułamek otrzymujemy równanie:
(5) \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ s=v _{o} \cdot t+ \frac{at ^{2} }{2}}\)
........................................
W rzucie poziomym oznaczamy;
\(\displaystyle{ s=h}\), \(\displaystyle{ a=g}\), co pozwala określić przebytą drogę( droga spadku) w kierunku pionowym;
(6) \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ h=v _{o} \cdot t+ \frac{gt ^{2} }{2}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ v_0=0}\), to droga;
(7) \(\displaystyle{ }\) \(\displaystyle{ h= \frac{gt ^{2} }{2}}\)

Nitr0Skay pisze: Skąd mam wiedzieć, który wzór i gdzie mogę zastosować ?

Wystarczy przeczytać dowolny podręcznik do szkoły średniej.

Dzięki za wskazówkę Panowie. Resztę postaram się sam ogarnąć, ale jak gdzieś utknę, to dam znać