Matematyka.pl

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:A \rightarrow R}\) (\(\displaystyle{ A \subset R}\)) nie jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} \in A}\), to:

a. funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma asymptotę pionową o równaniu \(\displaystyle{ x= x_{0}}\)

b. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to x_{0} }f(x)}\) nie istnieje

c. funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\)

Moje odp.: a. oraz c. - proszę o sprawdzenie

Z tą asymptotą to nieprawda - rozważ np. funkcję signum w zerze. Jest ciągła w tym punkcie? A ma tam asymptotę pionową?

A co powiesz na takiego dziwoląga?

\(\displaystyle{ f\colon [0,1]\to\mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ f(x) \begin{cases} 0, \hbox{ gdy } x\in\mathbb{Q} \\ 1, \hbox{ gdy } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}}\).

Ogólnie, co powiesz o funkcji, która ma nieprzeliczalnie wiele punktów nieciągłości? Co z jej asymptotami? Czy nie uważasz teraz, że odpowiedź (a) jest prawdziwa w (względnie) bardzo niewielu przypadkach?

Pozdrowienia od małpiszona

Jeżeli mielibyśmy stwierdzić, że odpowiedzi a, b, c są prawdziwe dla wszystkich funkcji spełniających warunek wyjściowy, to byłaby nieprawda w każdym podpunkcie. Chociaż istnieją funkcje, dla których odpowiedzi a i b są prawdziwe.

Tak... niewątpliwie...