Matematyka.pl

Mam taki wielomian
\(\displaystyle{ W \left( x \right) = \left( x-4 \right) \left( 2x ^{2}-3 \right)}\)
To jest środek zadania, wynik powyższy jest poprawny. Celem zadania jest zapisać wielomian jako iloczyn trzech wielomianów pierwszego stopnia. Należy więc rozbić ten drugi nawias.

\(\displaystyle{ 2x^2=3 \newline
x^2 = 1.5 \newline
x = \sqrt{ \frac{3}{2} } \vee x = -\sqrt{ \frac{3}{2} }}\)
lub inną drogą - nie dzieląc na początku przez 2, tylko pierwiastkując:
\(\displaystyle{ 2x^2=3 \newline
\sqrt{2x^2} = \sqrt{3} \vee \sqrt{2x^2} = -\sqrt{3} \newline
\sqrt{2}x = \sqrt{3} \vee \sqrt{2}x = -\sqrt{3}}\)

No i zaczynam się gubić w tym. Gdy w obu przypadkach wezmę to na wykres to są takie same miejsca zerowe, ale funkcje nie są takie same. W tym drugim wypadku jak podzielę obustronnie przez pierwiastek z dwóch to wynik jest taki sam jak w pierwszym. Takie same wyniki a wykresy inna choć te same miejsca zerowe. Co będzie poprawną odpowiedzią?:

\(\displaystyle{ \left( x-4 \right) \left( x- \sqrt{ \frac{3}{2} } \right) \left( x+ \sqrt{ \frac{3}{2} } \right)}\)
czy
\(\displaystyle{ \left( x-4 \right) \left( \sqrt{2}x- \sqrt{3} \right) \left( \sqrt{2}x+ \sqrt{3} \right)}\)

To pierwsze też może być tylko pamiętaj że tak wygląda postać iloczynowa funkcji kwadratowej:
\(\displaystyle{ {\red{a} }(x-x_{1})(x-x_{2})}\)

W postaci iloczynowej wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) w nawiasach musisz mieć iks minus pierwiastek równania, albo nierozkładalny trójmian kwadratowy (taki z ujemną deltą).

To może na przykładzie funkcji \(\displaystyle{ y= 4x^{2}-16}\). Jej pierwiastkami są, jak łatwo wyliczyć "-2" i "2".
Natomiast samą funkcję można zapisać:
\(\displaystyle{ y=(2x-4)(2x+4)}\) lub \(\displaystyle{ y=4(x-2)(x+2)}\)

Ok, rozumiem już. Ale mam wątpliwości co do samego liczenia tego.

1. Gdy dzieliłem przez 2 to straciłem jakby współczynnik kierunkowy i powinienem go potem dopisać.
2. Gdy pierwiastkowałem to współczynnik się nie stracił bo widać że gdy wymnożę pierwiastki z dwóch otrzymam współczynnik dwa.

Teraz tak, skoro mam:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}x = \sqrt{3} \vee \sqrt{2}x = -\sqrt{3}}\)
To tak jak pisałem wyżej w punkcie 2 - tutaj nie zniknął mi współczynnik kierunkowy (wnioskuję po tym że mam coś przy X).

I teraz jeśli to chcę przekształcić, żeby otrzymać samego X, pozbyć się tego co przy X. To mam dwie opcje:
1. Podzielić przez pierwiastek z dwóch:
\(\displaystyle{ x = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } \vee x = -\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }}\)
Znikło to co stało przy X, więc przy podstawianiu do postaci iloczynowej muszą dopisać a? Więc dopisując 2 jest OK.

2. Pomnożyć przez pierwiastek z dwóch, albo też dodatkowo jeszcze podzielić przez 2
\(\displaystyle{ 2x = \sqrt{6} \vee 2x = -\sqrt{6}}\)
Tutaj widzę że przy X coś stoi więc nie dopisuję współczynnika a bo on tu jest. Jednak wtedy znowu otrzymuję złą funkcję.

2.1 Ciąg dalszy. Jeśli to co wyżej podzielę jeszcze przez 2 to otrzymam:
\(\displaystyle{ x = \frac{\sqrt{6}}{2} \vee x = -\frac{\sqrt{6}}{2}}\)


No i jest źle, wszystko wychodzi źle. Miejsac zerowe OK, jednak funkcja wygląda inaczej ze względu na jej wynikowy parametr a jaki wychodzi. Rozumiem że to jego wina ale nie rozumiem jakie popełniam błędy przy przekształceniach dzieląc/pierwiastkując, kiedy dopisać a, kiedy nie dopisać, albo kiedy dopisać połowę a, kiedy podwójne a.

Wydaje mi się że popełniam jakiś błąd coś na wzór gdy dzielę wielomian przez coś, przez co tracę pierwiastki (a potrzebuję znać je wszystkie by odpowiedzieć jakie to te pierwiastki), jednak samo działanie jest dobre... Abstrakcja trochę..

Twoje rozumowanie jest błędne dlatego, że nie widzisz różnicy np. w dzieleniu stronami równania i w dzieleniu stronami funkcji (brrr. przy tym aż ciarki przechodzą).
Odnosząc się do mojej funkcji: \(\displaystyle{ y= 4x^{2}-16}\) - jej dzielić stronami nie wolno. No bo co by było po lewej stronie? (\(\displaystyle{ \frac{1}{2} y}\))?
Natomiast równanie, które jest potrzebne do wyznaczenia pierwiastków: \(\displaystyle{ 4x^{2}-16=0}\) można.
\(\displaystyle{ (2x-4)(2x+4)= 4(x-2)(x+2)=0/4}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x+2)=0}\)
Są to równania równoważne (mające takie same pierwiastki, niezależnie od zapisanego "a")