Zapis funkcji. Temat związany z rachunkiem lambda.
: 23 lut 2015, o 18:03
Dzisiaj mnie naszło na zbadanie pewnej sprawy. Mianowicie chodzi mi o pewien zapis matematyczny, który występuje w książkach np od matematyki w sposób nieprawidłowy (bądź i prawidłowy, w zależnosci od intepretacji).
Przykładowo spójrzmy, jak zintepretujemy poniższe wyrażenie:
\(\displaystyle{ f^{2} \left(x\right)}\)
Znając rachunek lambda, od razu byśmy pomyśleli, że jest to funkcja f zaaplikowana 2 razy na argumencie x, tj
\(\displaystyle{ f\left(f\left(x\right)\right)}\)
prawda? Prawdopodobnie większość uczniów i studentów by to zintepretowała tak samo.
Jednakże pojawia się jeden problem z tym zapisem... otóż przykładowo funkcje sinusa możemy zinterpretować na 2 sposoby:
\(\displaystyle{ \text{1)}\sin ^{2}\left(x\right) = \left(\sin \left(x\right)\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ \text{2)}\sin ^{2}\left(x\right) = \sin \left(\sin \left(x\right)\right)}\)
Przyjmując pierwszy sposób w jedynce trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \left(x\right) + \cos ^{2}\left(x\right) = 1}\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}}\), wtedy
\(\displaystyle{ \sin \left(x\right) = \frac{1}{2}\text{ , }\cos \left(x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}\left(x\right) + \cos ^{2}\left(x\right) = \left(\sin \left(x\right)\right)^{2} + \left(\cos \left(x\right)\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1}\)
Czyli dla pierwszego sposobu, jedynka trygonometryczna sie zgadza. Jednakże dla drugiego sposobu otrzymujemy coś takiego:
... x%29+%3D+1
Teraz dlaczego zakładam ten temat? Chciałbym się dowiedzieć jak poprawnie powinien byc interpretowany zapis \(\displaystyle{ f^{2}\left(x\right)}\) dla \(\displaystyle{ f:=\sin}\). Zapewne jest to tylko kwestia interpretacji, ale zapewne gdy dotyczy to funkcji trygonometrycznych, to obowiązuje interpretacja typu \(\displaystyle{ \sin ^{2}\left(x\right)=\left(\sin \left(x\right)\right)^{2}}\).
Chciałbym trochę o tym podyskutować. Głównie chodzi mi o poprawną interpretację powyższego wyrażenia na maturze.
Przykładowo spójrzmy, jak zintepretujemy poniższe wyrażenie:
\(\displaystyle{ f^{2} \left(x\right)}\)
Znając rachunek lambda, od razu byśmy pomyśleli, że jest to funkcja f zaaplikowana 2 razy na argumencie x, tj
\(\displaystyle{ f\left(f\left(x\right)\right)}\)
prawda? Prawdopodobnie większość uczniów i studentów by to zintepretowała tak samo.
Jednakże pojawia się jeden problem z tym zapisem... otóż przykładowo funkcje sinusa możemy zinterpretować na 2 sposoby:
\(\displaystyle{ \text{1)}\sin ^{2}\left(x\right) = \left(\sin \left(x\right)\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ \text{2)}\sin ^{2}\left(x\right) = \sin \left(\sin \left(x\right)\right)}\)
Przyjmując pierwszy sposób w jedynce trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \left(x\right) + \cos ^{2}\left(x\right) = 1}\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}}\), wtedy
\(\displaystyle{ \sin \left(x\right) = \frac{1}{2}\text{ , }\cos \left(x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}\left(x\right) + \cos ^{2}\left(x\right) = \left(\sin \left(x\right)\right)^{2} + \left(\cos \left(x\right)\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1}\)
Czyli dla pierwszego sposobu, jedynka trygonometryczna sie zgadza. Jednakże dla drugiego sposobu otrzymujemy coś takiego:
... x%29+%3D+1
Teraz dlaczego zakładam ten temat? Chciałbym się dowiedzieć jak poprawnie powinien byc interpretowany zapis \(\displaystyle{ f^{2}\left(x\right)}\) dla \(\displaystyle{ f:=\sin}\). Zapewne jest to tylko kwestia interpretacji, ale zapewne gdy dotyczy to funkcji trygonometrycznych, to obowiązuje interpretacja typu \(\displaystyle{ \sin ^{2}\left(x\right)=\left(\sin \left(x\right)\right)^{2}}\).
Chciałbym trochę o tym podyskutować. Głównie chodzi mi o poprawną interpretację powyższego wyrażenia na maturze.