Matematyka.pl

Wyznacz dziedzinę funkcji f, określ jej najmniejszą wartość oraz naszkicuj wykres:

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \lim_{n\to\infty} \left( 1+ x^{2}+ x^{4}+...+ x^{2n} \right)}\)

Jak pozbyć się tej granicy?

Zastosuj wzór na sumę ciągu geometrycznego.

Po pierwsze to zamknij nawias w kodzie. Po drugie to jest to szereg geometryczny. Skorzystaj ze wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego.

Suma nieskończonej ilości wyrazów ciągu geometrycznego jest sumą szeregu geometrycznego i dla \(\displaystyle{ q \in \left( -1;1\right)}\) (to właśnie potrzebne jest do wyznaczenia dziedziny) wynosi \(\displaystyle{ \frac{a _{1} }{1-q}}\)

Tyle to ja wiem, ale właśnie jak wygląda ten ciąg? Jeśli pierwszy wyraz w sumie to 1, oznacza to, że \(\displaystyle{ a_{1}=0}\), czy dobrze mi się wydaje? Jeśli nie, to jak wygląda ten ciąg, jaki jest pierwszy wyraz?

Przykład wyjściowy przyrównaj do tej sumy, którą napisałem wcześniej

szachimat, jak to przyrównaj?

Funkcja to funkcja, ciąg to ciąg.

Ciąg o którym mówimy to \(\displaystyle{ 0, 2, 4, \ldots, 2n}\)

Tak czy nie?
Jeśli \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwszym wyrazem, to coś tu nie gra.
Więc jak w końcu wygląda ten ciąg??

Toleslaw pisze:szachimat, jak to przyrównaj?

Funkcja to funkcja, ciąg to ciąg.

Ciąg o którym mówimy to \(\displaystyle{ 0, 2, 4, \ldots, 2n}\)

Rzeczywiście widzisz wyrazy ciągu: 0, 2, 4 itd., ale powinieneś też widzieć, że są one dodawane. A ile wyjdzie w wyniku dodawania takiej nieskończonej ich ilości? Ano właśnie limes tego wszystkiego co dodamy to jest pewna funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a _{1} }{1-q}}\). A jej dziedziną jest to co wyjdzie z dwóch warunków: \(\displaystyle{ q>-1}\) i \(\displaystyle{ q<1}\)

Toleslaw pisze: Funkcja to funkcja, ciąg to ciąg.

Ciąg jest funkcją.

AndrzejK pisze:

Toleslaw pisze: Funkcja to funkcja, ciąg to ciąg.

Ciąg jest funkcją.

To prawda ogólnie, chodziło mi o konkretny przypadek w zadaniu.

szachimat pisze:

Toleslaw pisze:szachimat, jak to przyrównaj?

Funkcja to funkcja, ciąg to ciąg.

Ciąg o którym mówimy to \(\displaystyle{ 0, 2, 4, \ldots, 2n}\)

Rzeczywiście widzisz wyrazy ciągu: 0, 2, 4 itd., ale powinieneś też widzieć, że są one dodawane. A ile wyjdzie w wyniku dodawania takiej nieskończonej ich ilości? Ano właśnie limes tego wszystkiego co dodamy to jest pewna funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a _{1} }{1-q}}\). A jej dziedziną jest to co wyjdzie z dwóch warunków: \(\displaystyle{ q>-1}\) i \(\displaystyle{ q<1}\)

To w końcu z tego wybrnąłeś?