Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty } \frac{\ln \frac{x}{x-2}}{x}}\)

Poradzicie drodzy z ta granica? Domyslam sie ze trzeba zastosowac regule d'l hospitala, ale czy mozna ja stosowac jak symbol \(\displaystyle{ \left[ \frac{\infty}{\infty}\right]}\) jest przy logarytmie i do tego w liczniku? Jak wtedy zastosowac ta regule? Wielkie dzieki za odpowiedzi

Na pewno założenia reguł de l'Hospitala są spełnione? Na pewno potrzebujemy tego narzędzia? Popatrz dokładnie do czego leci mianownik, a do czego licznik.

A czy ten logarytm dąży do nieskończoności?

Wydaje mi sie ze skoro juz w ln jest symbol nieoznaczony cos z nim trzeba zrobic, bo nie wiadomo do czego dazy ten logarytm. I w przypadku gdzie mamy taki symbol stosowalo sie wlasnie ta regule. Licznik nie wiadomo do czego dazy, mianownik do nieskonczonosci. Wiec po prostu nie wiem od czego tu zaczac, co tu za dzialanie jest potrzebne. Pomozecie na cos naprowadzic?

Nic nie trzeba robić. Logarytm dąży do nieskończoności wolniej niż funkcja liniowa, więc
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty } \frac{\ln\left( x\right) }{x}=0}\).
A logarytm ilorazu to różnica logarytmów, więc sobie rozpisz.

Xardas666, Twój argument jest nieclo mylący moim zdaniem, bo wtedy w liczniku otzymamy \(\displaystyle{ \left[ \infty - \infty \right]}\) Chyba, że chcesz korzystać z granicy specjalnej o której napisałeś.

Lepszym podejściem jest skorzystanie z ciągłości logarytmu i wejscie z granicą pod logarytm. W liczniku mamy więc \(\displaystyle{ \ln 1 =0}\) w mianowniku oczywiśćie \(\displaystyle{ \infty}\) zatem nie ma symoblu nieoznaczonego i granica wynosi \(\displaystyle{ 0}\).

Niby dlaczego w liczniku coś takiego dostaniesz?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{\ln \frac{x}{x-2} }{x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\ln\left( x\right)-\ln\left( x-2\right)}{x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{\ln\left( x\right) }{x}- \frac{\ln\left( x-2\right) }{x} }{1}= \frac{0-0}{1}=0}\)
I nie ma tu żadnych symboli nieoznaczonych.

Kacperdev pisze:Xardas666, Twój argument jest nieclo mylący moim zdaniem, bo wtedy w liczniku otzymamy \(\displaystyle{ \left[ \infty - \infty \right]}\) Chyba, że chcesz korzystać z granicy specjalnej o której napisałeś.

przeczytaj ostatnie zdanie.

Kacperdev pisze:

Kacperdev pisze:Xardas666, Twój argument jest nieclo mylący moim zdaniem, bo wtedy w liczniku otzymamy \(\displaystyle{ \left[ \infty - \infty \right]}\) Chyba, że chcesz korzystać z granicy specjalnej o której napisałeś.

przeczytaj ostatnie zdanie.

Tak, już widzę.