Matematyka.pl

Dla \(\displaystyle{ 0<a<1<b<c}\) obliczyć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \int_{a}^{ \infty } (x^{-bnx} + x^{-cnx})^{ \frac{1}{n} }}\)

Zacząłbym od wyjęcia \(\displaystyle{ x^{nx}}\) przed nawias.

no tak, to oczywiste, jednak dalsza część rozwiązania sprawia mi trudność

Dostałem taki wynik:
\(\displaystyle{ \int_{a}^{1}x^{-cx}dx+ \int_{1}^{ \infty }x^{-bx}dx}\)
Nie wiem, czy te całki oznaczone da się policzyć, bo nieoznaczonych policzyć się na pewno nie da.
Otrzymałem to w ten sposób, że najpierw wyciągnąłem przed nawias \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{bnx}}}\), potem wstawiłem symbol granicy pod całkę i pod całką została mi jedynie do policzenia granica z wyrażenia:
\(\displaystyle{ \left[ 1+ \frac{1}{\left( x^{\left( c-b\right)x }\right)^{n} } \right]^{1/n}}\)
To wyrażenie ma inną granicę dla \(\displaystyle{ x>1}\) i inną dla \(\displaystyle{ x<1}\), a nasza dolna granica całkowania a jest mniejsza od jedności, dlatego rozbijam całkę na sumę dwóch całek i liczę osobno obie granice.
Mam nadzieję, że pomogłem. Teraz jestem ciekaw, czy te całki daje się sprowadzić do jakiejś wartości liczbowej.