Granica funkcji sprawdzenie zadania

[sevastian1897]

Witam Uczę się do kolokwium i mam problem z dwoma zadaniami.
Oblicz granice:
1)\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x\ln \frac{x-1}{x+1}}\)
2)\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \arcsin \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \ctg \left( \frac{1}{x} \right)}\)

Prosiłbym o rozwiązanie tych zadań, chciałbym sprawdzić poprawność własnych obliczeń.
Z góry dziękuje za pomoc

[miodzio1988]

Pokaz swoje obliczenia, sprawdzimy

[szachimat]

Ad.1
Czynnik "x" zapisz w mianowniku jako " \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) " i dalej H (mi wychodzi "-2")

[sevastian1897]

To znaczy kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, próbowałem na razie na boku zobaczyć jaki ma to symbol nieoznaczony, żeby trochę mi to podpowiedziało jakiej metody obliczenia użyć, ale nie wiem jak to jest w tych obu przypadkach. Dlatego prosiłem o rozwiązanie aby móc to sobie dokładnie przeanalizować.

[miodzio1988]

No to po co te ściemy?

w 1) sprowadzasz do postaci liczby \(\displaystyle{ e}\) i nie musisz korzystać nawet z reguły H

Czyli podstawowa własność logarytmu wygląda jak?

[sevastian1897]

To znaczy ze mam w pierwszym sprowadzić to do liczby e wiedząc że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e}\) tak ?

[szachimat]

W takim razie też chętnie zobaczę jak to miodzio1988, zgodnie ze swoją wskazówką: "sprowadzasz do postaci liczby e i nie musisz korzystać nawet z reguły H" pomoże dalej.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+1}= \frac{x+1-2}{x+1}=1+ \frac{ -2}{x+1}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x\ln \frac{x-1}{x+1}=\lim_{x\to\infty} \ln( \frac{x-1}{x+1})^x}\)

I w granicy dostajemy

\(\displaystyle{ \ln e ^{-2}=-2}\)

szachimat, jakiś problem?

[szachimat]

Może nie jestem aż tak lotny, ale w pamięci nie widzę tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left( \frac{x-1}{x+1} \right) ^x=e ^{-2}}\)
Musiałbym wykonać więcej przekształceń:
\(\displaystyle{ \left( \frac{x-1}{x+1} \right) ^x=}\) \(\displaystyle{ \left( \frac{ \frac{x-1}{x} }{ \frac{x+1}{x} } \right) ^x=}\) \(\displaystyle{ \frac{ \left( 1- \frac{1}{x} \right) ^x }{ \left( 1+ \frac{1}{x} \right) ^x }=}\) \(\displaystyle{ \frac{ \left( \left( 1+ \frac{1}{-x} \right) ^-^x \right) ^-^1 }{ \left( 1+ \frac{1}{x} \right) ^x }}\)
Teraz dopiero widzę, że licznik dąży do \(\displaystyle{ e ^{-1}}\), a mianownik do \(\displaystyle{ e}\) (zgodnie z tym co napisał sevastian1897:\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e}\)), czyli całe wyrażenie do \(\displaystyle{ e^{-2}}\)

[miodzio1988]

Kwestia praktyki. Jak zrobisz wystarczająco dużo przykładów to takie rzeczy zaczniesz widzieć od razu

[sevastian1897]

Dzięki zrozumiałem przykład pierwszy Jednak dalej mam problemy z drugim nie mogę użyć tutaj wzorów na granice funkcji poza ta na liczbę E. Jak mam się za ten przykład zabrać ? Regułą de Hospitala ?

[Xardas666]

Zamień sobie cotangens na odwrotność tangensa, wtedy dostaniesz symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0} \right]}\), robisz pochodne licznika i mianownika i dostajesz jedynkę.

[sevastian1897]

Jeszcze jedno pytanie do przykładu drugiego po wyliczeniu pochodnych wychodzi mi to jak z tego ma teraz wyjść jedynka ?
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} (1/ \sqrt{1- (\frac{1}{x}) ^{2}} * (- \frac{1}{x ^{2} } )/ (1/cos ^{2} \frac{1}{x} ) *(- \frac{1}{x ^{2} } )}\)

[Xardas666]

No dobrze Ci wyszło. A teraz skróć ten ułamek i wrzuć do licznika cosinus. I zastanów się, do czego dąży cosinus, gdy x dąży do nieskończoności.

[sevastian1897]

Do przedziału od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\) ?