Matematyka.pl

Znalezc krzywa całkową rownania y'-2y+3=0 przechodząca przez punkt (0,1)

Równanie (liniowe rzędu pierwszego, jednorodne o stałych współczynnikach) jest banalne - ot po prostu rozdzielamy zmienne:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}-2y+3=0 \\ \frac{dy}{dx}=2y-3 \\ \frac{dy}{2y-3}=dx \\ \frac{1}{2}\int \frac{2dy}{2y-3}=\int dx}\)

Kontynuując, dojdziemy do rozwiązania ogólnego:

\(\displaystyle{ y(x)=\frac{1}{2}(3+Ce^{2x})}\)

Rozwiązujemy zagadnienie Cauchy'ego:

\(\displaystyle{ y_0 = f(x_0) \\ 1=\frac{1}{2}(3+Ce^0 ) \\ ... \\ C=-1}\)

Stąd krzywa całkowa dana jest równaniem \(\displaystyle{ y(x)=\frac{1}{2}(3-e^{2x})}\).