Matematyka.pl

Prostokatna dzialke ogrodzono plotem o dlugosci 100m. Na dzialce zaplanowano zrobienie 4 jednakowych prostokatnych grzadek oddzielonych sciezkami o szerokosci 1m, jak na rysunku, Jakie powinny byc wymiary dzialki, aby powieszchnia grzadek byla jak najwieksza ?

... c928e.html

z gory dziekuje za pomoc.

Jeżeli jeden z boków prostokąta oznaczymy przez \(\displaystyle{ x}\), drugi przez \(\displaystyle{ y}\), to mamy zależność
\(\displaystyle{ 2x+2y=100}\)
\(\displaystyle{ y=50-x}\).
Boki pojedynczej grządki wynoszą odpowiednio
\(\displaystyle{ \frac{x-3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{y-3}{2}}\)
a pole takiej grządki to
\(\displaystyle{ \frac{x-3}{2}\cdot\frac{y-3}{2}}\)
Pole wszystkich grządek wynosi
\(\displaystyle{ S=4\cdot\frac{x-3}{2}\cdot\frac{y-3}{2}=(x-3)(y-3)=(x-3)(50-x-3)=
-x^2+50x-141}\)
czyli jest opisane funkcją kwadratową. Ponieważ współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) jest ujemny, to funkcja ta przyjmuje wartość maksymalną dla
\(\displaystyle{ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{50}{-2}=25}\)
a zatem działka powinna być kwadratem o boku \(\displaystyle{ 25\ m}\)