LXVI (66) OM - II etap

[AndrzejK]

2 Etap już pojutrze, więc można zacząć obstawiać jakie zadania się pojawią

Mam nadzieję, że zadania będą prostsze niż te z I etapu, wolę aby był wyższy próg i robialne zadania (żeby nie było wstydu i żebym nie musiał wychodzić z samymi zerami ). Na szczęście mam ten komfort, że mogę próbować w przyszłym roku.

[Krzychu12321]

Ja mam tylko nadzieję, że chociaż jedno będzie "darmowe".

[yorgin]

Życzę wszystkim powodzenia i maskymalnej liczby punków

Ukryta treść:    

Temat ustawiam jako przyklejony.

[bakala12]

A ja życzę wszystkim forumowiczom, którzy startują, żeby im siadły zadania i oczywiście wspaniałych rozkmin

Moje propozycje::    

1. Łatwa teoria liczb (taka na rozkład na czynniki pierwsze, albo coś takiego)
2. Stereometria (ale też nietrudna)
3. Kombinatoryka
4. Równanie funkcyjne / nierówność
5. Dosyć trudna planimetria
6. I na zakończenie jakaś harda kombinatoryka bądź teoria liczb

[Ponewor]

Życzę wszystkim maksów, bo dawno na finale losowania o IMO nie było

[Pinionrzek]

Moje typy:
1. Lajtowa teoria liczb
2. Prosta stereo
3. Robialna kombi na niezmiennik
4. Nietrudne równanie funkcyjne
5. Harda plani, której nie będzie się dało bezczelnie przepałować na kątach.
6. Hardkorowa kombi/ teoria liczb

[Michalinho]

Moje typy:

Ukryta treść:    

1. Prosta teoria liczb z podzielnością
2. Niełatwa plani
3. Nietrudna kombi
4. Trudnawa teoria liczb
5. Trudna plani
6. Bardzo trudna kombi, którą zrobi pewnie kilkanaście osób w Polsce w najlepszym przypadku

[przemos01]

Ukryta treść:    

Moje typy:
1. Prosta teoria liczb albo jakaś trikowa nierówność z liczbami całkowitymi
2. Średnie plani
3. Średnia kombi
4. Harda stereo
5. Równanie funkcyjne lub wielomian
6. Harda kombinatoryka

[bakala12]

Jak ktoś wyjdzie i nie będzie wiedział co ze sobą zrobić lub będzie miał taką ochotę, to bardzo prosimy o zadania

[przemos01]

No, niech ktos bedzie tak mily i wstawi zadanka

[piotr5]

2. \(\displaystyle{ A>1}\) całkowite.
\(\displaystyle{ a_1 = A^A}\), \(\displaystyle{ a_{n+1} = A^{a_n}}\)
\(\displaystyle{ b_1 = A^{A+1}}\), \(\displaystyle{ b_{n+1} = 2^{b_n}}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ a_n<b_n}\)

3. Niech ciąg \(\displaystyle{ a_n=|n (n+1) - 19 |}\)
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ n\ne 4}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ k < n}\) liczby \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ a_k}\) są względnie pierwsze, to liczba \(\displaystyle{ a_n}\) jest pierwsza.

Pierwszego nie chce mi się z komórki wklepywać. A zadanie tak nieciekawe, że w ogóle nie warto go robić.

Ukryta treść:    

Zadania bardzo dziwnie proste, żadne nie zajęło mi więcej niż stronę, co w moim przypadku rzadko się zdarza.
Pierwsze to zadanie na jedno równanie. Wektory AG i QP po prostych przekształceniach wychodzą równe.
W drugim najważniejsze było umocnić tezę do postaci \(\displaystyle{ Aa_n\le b_n}\) wtedy idzie zwykłą indukcją.
W trzecim wystarczy wziąć p jako najmniejszy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ a_n}\), wtedy jest on mniejszy lub równy n, pokazujemy, że \(\displaystyle{ a_{n-p}}\) jest podzielne przez p.

[Ponewor]

Nierówność, teoria liczb - zaczyna się fajnie. Dzięki Jak ktoś dorzuci trzecie, to nie pogardzimy.

[Michalinho]

1. Mamy trójkąt ABC. Na bokach \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) leżą odpowiednio \(\displaystyle{ E, F, G}\), takie że \(\displaystyle{ 2BE=EC, 2CF=FA, 2AG=GB}\). Na odcinkach \(\displaystyle{ GE, GF}\) leżą odpowiednio punkty \(\displaystyle{ P, Q}\), takie że \(\displaystyle{ 2EP=PG, 2GQ=QF}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AGPQ}\) jest równoległobokiem.

[piotr5]

Swoją drogą, w pierwszym dłużej niż nad rozwiązaniem zastanawiałem się, czemu nie dali punktu D...

[Swistak]

Kiepskie zadanka ; /.

Jestem ciekaw ile rozwiązań zad. 1 zaczynało się słowami

Ukryta treść:    

Przekszałćmy afinicznie

piotr5:

Ukryta treść:    

Domyślam się, że ciąg się zaczynał od \(\displaystyle{ a_1}\), a nie \(\displaystyle{ a_0}\) i wtedy \(\displaystyle{ p\le n}\) nie starcza . Ale to się oczywiście łatwo naprawia.