Matematyka.pl

Korzystając z tw. Kroneckera-Cappelego podać liczbę rozwiązań poniższego układu równan liniowych w zależności od parametru k. Wyznaczyć te rozwiązania.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x+y-3z=5\\ 3x-y-kz=1\\x+ky-z=13\end{cases}}\)

Próbowałem to rozwiązać. Policzyłem rząd utworzonej macierzy \(\displaystyle{ A}\), który wyszedł: \(\displaystyle{ 2 + rz[-4k ^{2}+10k-k]}\) (wyzerowałem kolumnę, nie wiem czy tak można). I w zależności od parametru otrzymałem dla \(\displaystyle{ \begin{cases} k = \frac{1}{2} \vee k=2 \Rightarrow rz(A)=2 \\ k \neq \frac{1}{2} \vee \Rightarrow k=2 rz(A)=3\end{cases}}\)

Zawiesiłem się na wyznaczeniu rzędu macierzy \(\displaystyle{ Au}\) oraz nie mam pomysłu na dalszą część zadania.

Z góry dzięki za wszelką pomoc.

Trochę sobie życie skomplikowałeś, ale dobrze wyznaczyłeś wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) (prościej było policzyć wyznacznik macierzy głównej i przyrównać do zera).
W zapisie masz trochę pomieszane w drugim warunku, powinno być
\(\displaystyle{ k\neq\frac12\wedge k\neq2\Rightarrow rz\ A=3}\).
No i teraz rozumowanie jest proste.
Niech \(\displaystyle{ k\neq\frac12\wedge k\neq2}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ rzU\ge rzA}\), czyli \(\displaystyle{ rzU\ge3}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ rzU=3}\) (nie może być większy niż 3, bo macierz uzupełniona ma tylko trzy wiersze).
Ale wtedy \(\displaystyle{ rzA=rzU=3=n}\) (gdzie \(\displaystyle{ n}\) to liczba niewiadomych) i z tw. Kroneckera-Capellego mamy, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Pozostaje sprawdzić co dzieje się dla tych dwóch niesprawdzonych jeszcze wartości \(\displaystyle{ k}\).
Dla \(\displaystyle{ k=2}\) mamy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x+y-3z=5\\ 3x-y-2z=1\\x+2y-z=13\end{cases}}\)
Trzeba tu policzyć rząd macierzy uzupełnionej albo zauważyć, że po lewej stronie pierwsze równanie jest sumą drugiego i trzeciego, a po prawej nie, stąd układ sprzeczny (to samo wyjdzie z rzędów \(\displaystyle{ rzA=2\neq rzU=3}\).
Analogicznie sprawdzasz co dzieje się dla \(\displaystyle{ k=\frac12}\) (wstawiasz za \(\displaystyle{ k}\) i liczysz rząd uzupełnionej).