Matematyka.pl

Witam. Mam do rozwiązania problem, mianowicie muszę wyznaczyć zbiór wartości funkcji, określonej wzorem:
\(\displaystyle{ y = \cos x + \cos^2x +\cos^3x + ...}\)
Teraz jestem w stanie powiedzieć, że \(\displaystyle{ q= \cos x}\). Jeżeli założyłbym, że \(\displaystyle{ |q| < 1}\) czyli \(\displaystyle{ \cos x \neq 1 \wedge \cos x \neq -1}\) to mógłbym zapisać, że \(\displaystyle{ y = \frac{ \cos x }{1 - \cos x}}\) ale co w sytuacji, gdy na przykład \(\displaystyle{ \cos x = 1}\)? Zastanawiałem się, co się stanie, jeśli zbadam co dzieje się z funkcją gdy podstawię za \(\displaystyle{ \cos x}\) wartości skrajne, czyli \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\). Otrzymałem przedział \(\displaystyle{ (- \frac{1}{2}; + \infty)}\) jednak nie dysponuję odpowiedzą do tego przykładu więc nie jestem w stanie stwierdzić, czy zrobiłem to dobrze czy źle; a jeśli dobrze, to dlaczego? Proszę o jakieś wskazówki co z tym zrobić.

Jeśli \(\displaystyle{ \cos x = 1 \vee \cos x =-1}\), to szereg jest rozbieżny Do wyznaczenia zbioru wartości jeszcze przydałaby się dziedzina... Powinna być podana w zadaniu.

Okej, dziedzina. W takim razie \(\displaystyle{ \cos x \neq 1 \wedge \cos x \neq -1}\) stąd \(\displaystyle{ x \neq \pi +2k \pi \wedge x \neq 2k \pi}\) więc łączę to w jeden warunek \(\displaystyle{ x \neq k \pi ; k \in \mathbb{Z}}\). Jak to dalej pociągnąć?

Ale ta dziedzina została wymyślona przez ciebie, czy napisana w zadaniu?

Jeśli wiesz, że dziedzina jest taka, że ten szereg jest zawsze zbieżny i można go zapisać jako \(\displaystyle{ y = \frac{ \cos x }{1 - \cos x}}\), to teraz zbadaj zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(t)=\frac{t}{1-t}, \ t \in (-1,1)}\) i tyle, tak myślę.

Aha, źle Cię zrozumiałem. W poleceniu nie ma ani słowa o dziedzinie, myślałem, że chodzi Ci o dziedzinę tej funkcji już po jej przekształceniu, ale zacznijmy od tego, czy można ją przekształcić do takiej postaci? Wydaje mi się, że nie za bardzo.

Można, gdy cosinus nie przyjmuje 1 ani -1. Jeśli dziedzina wyklucza takie przypadki, to jest ok. Natomiast jeśli nie przyjmuje (czyli funkcja jest prawdopodobnie \(\displaystyle{ \RR \to \RR}\)), to oddaję głos komuś innemu (bardziej doświadczonemu). Bo:
dla \(\displaystyle{ \cos x=1 \colon y=\infty}\), a to nie jest liczba rzeczywista, więc funkcja jest bez sensu;
dla \(\displaystyle{ \cos x = -1}\) ta funkcja w ogóle nie ma wartości... Bo szereg to granica, a granica tutaj nie istnieje. Więc też funkcja jest bez sensu.
Myślę, że dziedzina likwiduje te przypadki, ale co autor miał na myśli - mogę tylko się domyślać

Wyznaczenie warunku zbieżności szeregu jest elementem składowym wyznaczenia dziedziny. Bo dlaczego zastanawiacie się tylko nad tym, co będzie dla "-1" i "1" (chyba, że patrzycie na 0 w mianowniku), a np. co będzie dla "-2", "2"? Czyli interesują nas tylko te "x", dla których wyrazy mają sens i dla których \(\displaystyle{ \left| q\right| <1}\) (w poleceniu nie muszą tego podawać).