Matematyka.pl

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (a_{n}) _{n \in N}}\) o wartościach nieujemnych. Wtedy:

A. Jeżeli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot a_{n}}\) jest bezwarunkowo zbieżny, to jest zbieżny.

B. Jeżeli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot a_{n}}\) jest zbieżny, to jest warunkowo zbieżny.

C. Jeżeli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}}\) jest zbieżny, to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot a_{n}}\) jest bezwarunkowo zbieżny.

Odp.: A., C. - proszę o sprawdzenie

C jest fałszem. Weź \(\displaystyle{ a_n = (-1)^n/n}\), wtedy lewy szereg jest zbieżny (bo alternuje), a prawy nie, bo jest harmoniczny.

B jest fałszem. Wystarczy popatrzeć co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ a_n = (-1/2)^n}\): szereg jest zbieżny bezwarunkowo, więc permutowanie jego wyrazów nie zmienia wartości.

A jest oczywiście prawdą.

zieliksonek pisze:Odp.: A., C.

To jest dobra odpowiedź, bo wyrazy \(\displaystyle{ a_n}\) mają być nieujemne.